应用巧办法，妙解二次函数值大小比较问题

◎秦宇峰 张孟刚

比较二次函数值的大小是九年级学生头痛的一个难题，常用的方法有：1、可以采用代入法分别计算出二次函数值的大小再比较；2、也可采用对称性将不同点转化到对称轴的同一侧，再利用二次函数的增减性比较大小；这两种方法计算均略显麻烦；3、把比较函数值大小的问题转化为比较这些点与对称轴的水平距离的大小问题。

方法1有时行得通有时就行不通。

方法2比较麻烦，尤其是点在对称轴的两边，方法3是比较巧妙的，掌握了解决此类题非常方便。

方法3的理论也并不深奥。

只要教师善于引导学生仔细观察图象就能总结出规律：二次函数图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），对称轴为 X＝m，如何比较函数值的大小呢？我们总结的巧办法是：当a大于0时，一个点离对称轴越远（即｜x-m｜越大），这个点越高，对应的y值越大，一个点离对称轴越近（即｜xm｜越小），这个点越低，对应的y值越小。如果两个点离对称轴的水平距离一样（即｜x-m｜相等），那么这两个点高度一样，对应的y值相等；反之也成立，一个点的y值越大，说明离对称轴越远（即｜x-m｜越大），一个点的y值越小，说明离对称轴越近（即｜x-m｜越小）。

｜x-m｜表示点与对称轴的水平距离。等于它的横坐标与对称轴数值的差的绝对值，若知点在对称轴左边，那么m大x小，｜x-m｜＝m-x。这样就不用带绝对值符号了，更加方便。若知点在对称轴右边，那么x大m小，｜x-m｜＝x-m。

当a小于0时，一个点离对称轴越远（即｜x-m｜越大），这个点越低，对应的y值越小，一个点离对称轴越近（即｜x-m｜越小），这个点越高，对应的y值越大。反之也成立，一个点的y值越大，说明离对称轴越近（即｜x-m｜越大），一个点的y值越小，说明离对称轴越远（即｜x-m｜越小）。

类型1：根据距离大小判断二次函数值的大小

例题1：（2015西安汇知中学模拟题改编）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是 x＝-1，图象经过点 A（-3.14，y1），B（-，y2），C（0，y3），则关于 y1，y2，y3的大小关系是.

解：-1-（-3.14）＝2.14，-1-（-）＝0.414，0-（-1）＝1.

根据总结的规律“当a＞0时，一个点离对称轴越远（即｜x-m｜越大），这个点越高，对应的y值越大”知y2＜y3＜y1。

例题2：、已知二次函数y＝3(x-)22+m的图像经过三个点则y1、y2、y3的大小关系为（ ）

A y1＞y2＞y3B y2＞y1＞y3

C y1＞y3＞y2D y3＞y2＞y1

1、此题可以采用代入法分别计算出y1、y2、y3的大小再比较；

2、也可采用对称性将A、B、C三点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。

利用本法做这道题：因为a＝3，所以抛物线开口向上，由x-2＝0得x＝2，所以对称轴是x＝2，此时抛物线上的点与对称轴的距离越远函数值越大，A、B、C三点到对称轴是 x＝2的距离分别是、，且有即A点最远、C点最近，所以y1＞y2＞y3，使用这种方法比较函数值的大小时，你只需要比较它们到对称轴的距离就行了。

例题：2：（2015西安铁一中模拟题）已知抛物线y＝a（x-4）2+3的图象经过点 A（1，-5），B（m，y1），C（n，y2），且｜m-4｜＞｜n-4｜，则关于y1，y2的大小关系是什么？

解：把 A（1，-5）代入 y＝a（x-4）2+3中，可以求出 a＝-8/9。令

x-4＝0，可以得到对称轴为 x＝4。条件｜m-4｜＞｜n-4｜说明点 B离对称轴的距离大于点C离对称轴的距离。根据总结的规律“当a小于0时，一个点离对称轴越远（即｜x-m｜越大），这个点越低，对应的y值越小”知 y1＜y2。

练习1：（2015·河南）已知点 A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在二次函数y＝（x-2）2-1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是

练习2：（2011陕西第10题）若二次函数y＝x2-6x+c的图像过

A（-1，y1），B（2，y2），C（3+，y3），则 y1，y2，y3的大小关系是 （）

A.y1＞y2＞y1B y1＞y3＞y2

C y2＞y1＞y3D y3＞y1＞y2

练习3： （2015大庆改编1）已知二次函数 y＝4（x-2）2+c，当 x＝x1时，函数值为 y1，当 x＝x2时，函数值为 y2，若｜x-2｜＞｜x-2｜，则 y1，y2的大小关系是什么？

（2015大庆改编2）已知二次函数 y＝-4（x-2）2+c，当 x＝x1时，函数值为 y1，当 x＝x2时，函数值为 y2，若｜x-2｜＞｜x-2｜，则 y1，y2的大小关系是什么？

（2015大庆）已知二次函数 y＝a（x-2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当 x＝x2时，函数值为 y2，若｜x1-2｜＞｜x2-2｜，则下列表达式正确的是（ ）

A.y1+y2＞0 B.y1-y2＞0

C.a（y1-y2）＞0 D.a（y1+y2）＞0

类型2：根据二次函数值的大小判断距离大小

例题：（2013陕西第10题）已知两点 A（-5，y1）、B（3，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c(a≠ )0上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ）

A.x0＞-5 B.x0＞-1 C.-5＜x0＜-1 D.-2＜x0＜3

解：由y1＞y2≥y0知顶点是最低点，说明抛物线的开口方向上，那么a＞0，因为点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，所以对称轴为x＝x0，由y1＞y2知点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，可以列出关于x0一元一次不等式：x0-（-5）＞3-x0，解之得x0＞-1。

练习：若点 A（m+2，y1），B（2-n，y2）（m＞0，n＞0）在二次函数 y＝ax2-4ax+3（a＜0）上，且 y1＞y2，则 m，n的大小关系是什么？

解：先求对称轴为 x＝-（-4a/2a）＝2，因为 a＜0，y1＞y2，说明点 A比点B距离对称轴近，m+2-2＜2-（2-n），所以m＜n。