浅析“微元法”在高中物理中的运用

摘要：微元法是一种在物理学中广泛应用的数学方法，是指在处理问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体目的的方法。思想就是“化整为零”，先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。要在教学过程中潜移默化的让学生领会这种科学方法，提高学生的思维能力。

关键词：微元法;力学;电磁学

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。

如何取“元过程”呢？可以对整体对象进行无限分割得到“线元”，“面元”，“体元”，“角元”等;也可以分割一段时间或过程，得到“时间元”“元过程”;还可以对各种物理量进行分割，得到诸如“元电荷”，“元功”，“元电流”等相应的元物理量;这些“元过程”都是通过无限分割得到的要多么小就有多么小的“无穷小量”，解决整体问题就要从它们入手。对他们作“低细节”描述，即通过对“元过程”性质作合理近似描述，在无穷小量的前提下，通过求取极限，达到向精确描述的逼近。下面举几个例子说明。

一、选择“时间元”，化难为易

（一）人教版第一章第三节中用平均速度研究瞬时速度

根据平均速度的定义：v=ΔxΔt，可见平均速度只能粗略的描述运动的快慢。为了使描述精确些，可以把△t取得小一些，物体在从t到t+Δt这样一个较小时间间隔内，运动快慢的差异也就小一些。Δt越小，运动的描述就越精确。而xt就是x-t图象（图1）中割线（虚线）的斜率（比率）。但Δt趋向零时，割线也趋向于图象的A点（t1时刻）的切线。所以在x-t图象中切线的斜率（变化率）表示某时刻的瞬时速度。

图1

（二）【例1】如图2所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，金属杆与导轨的电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面.现给金属杆一个水平向右的初速度v0，让其自由滑行，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？

图2

分析：速度的变化导致安培力发生变化，进而导体棒的加速度也发生变化，导体棒将做非匀变速运动，且又涉及位移、速度、电荷量等问题，这时学生往往感到无从下手。用无限分割和动量定理求解往往能收到出奇制胜的效果。

解：本题中力F的大小一直减小，需要通过无限分割，在杆减速过程中取一极短时间Δt，发生了一段极小的位移Δx，在Δt时间内，金属杆受到安培力为F安=IBL=B2L2ΔxΔtR，由于时间极短，可以认为F安为恒力，选向右为正方向，在Δt时间内，导体棒的速度变化为ΔV=-a·Δt=-B2L2ΔxmR，对所有的速度变化求和，可得-v0=∑-B2L2ΔxmR=-B2L2mRx，x即为杆运动的最大距离，可得x=mv0RB2L2。

二、选择“质量元”，随风潜入夜

一旦我们遇到“质量元”的时候规律都是相同的，我们可以将其分解为无数个微小的“质量元”，我们选取其中之一作为研究对象，写出表达式就能使得问题迎刃而解。

（一）【例2】如图3所示，加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面之间的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度为多大？

图3

解：我们需要从水面上提取所需的“质量元”，其质量为Δm，其受力情况如图3所示，合力F合=Δmgtanθ，根据牛顿第二定律可知F合=Δma，则a=gtanθ。

（二）【例3】一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气而在空中保持静止，如果刚喷出的气體的速度为v，那么火箭发动机的功率是多少？

分析：学生刚拿到此题时，会感到无从下手，本题的条件中没有做功时间和总功大小，所以采用一般的方法并不能解决问题。但是仔细分析本题，会发现如果我们采用微元法，取一个很短的时间Δt，选取在Δt时间内喷出的气体作为研究对象，先求出此段时间内发动机对气体所做的功，再通过功率的定义式即可得出结果。

解：火箭喷气时，要对气体做功，选取在极短时间内喷出的气体为研究对象。求出此时间内，火箭对气体质量元Δm做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率。

设火箭推气体的力为F，根据动量定理，有F·Δt=Δm·v，由于M>>m，可认为火箭的总质量不变，因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有F=Mg即Mg·Δt=Δm·v，Δt=Δm·vMg，对“质量元”气体用动能定理得，火箭对气体做的功为w=12Δm·ν2，发动机的功率P=WΔt=12Mgv。

参考文献：

[1]徐卫兵.用“微元思想”突破概念难点教学[J].中学物理教学参考，2014（6）：24-26.

[2]常飞.微元法在高中物理题中的运用简说[J].新课程学习（中），2012（11）：62-63.

作者简介：

方可，浙江省金华市，金华市第六中学。