高中数学中数列通项与求和若干方法探讨

摘 要：随着社会的发展、时代的进步教育越来越引起人们的重视，而作为教育学段中尤为重要的高中阶段就更是如此。那么在高中阶段中作为其重要组成部分的数学教育除了备受人们关注以外，对之在高中数学里占有特别位置的数列也聚集了更多的目光。高中的数列学习有着承上启下的关键作用，不仅在高中数学中占据着重要地位而且与大学数学也有紧密联系，与其他数学知识例如不等式、积分、微分、函数、极限、级数、方程等等都有着紧密关系，在数列中还渗透着很多数学基本技能和数学思想。基于此，本文在调查的基础上分析了高中数学中数列通项与求和若干方法探讨，以此来供相关人士交流参考。

关键词：高中数学;数列;通项与求和;方法探讨

高考是目前我国选拔人才的一种主要方式，而数列的通项和求和是每年高考数学中的必考考点，由此可以看出其在高中数学中的重要地位。数列的通项与求和难度大，且并不只有一种方法，其解题运用的技巧性强且比较灵活，这就需要学生也要有一个灵活的思维方式，活用知识。掌握数列通项公式和求和这种在高考中占有一定比例题目的解法对其高考是十分有益的。在我国目前的高中数学教材书上大部分常见的数列有两种，一种是等比数列，另一种是等差数列，但除此之外还有其他类型的数列存在，数列的形式是比较复杂多变的。笔者接下来就高中数学中数列通项与求和的若干方法做一下探讨。

一、 求得数列的通项公式的几种常见方法

（一） 觀察法

在我们看到数列题目时，要想求得数列的通项公式时就必须要仔细观察。尤其是已经给出数列的前面几项时，我们就必须要认真观察这几项数列的排列规律，从而发现通项公式，如这样一组数列：3、6、9、12、15，我们通过观察这些给出的数列就可以得出这组数列的通项公式为an=3n。但是观察方法只适合比较简单的排列组合，若是比较复杂的都不可能一眼就看出通项公式，但观察法可以为其指明一定的方向。

（二） 公式法

当看到数列是等差或等比数列时，且题目中给出数列的前n项和的表达式Sn，那么我们就可以直接套用等差或等比数列的通项公式Sn-Sn-1，但我们需要注意的是n必须要大于或等于2，这样通项公式才能成立。当碰到n小于2时的数列时就需要用到分段求解的方法了，因此再碰到这类数列时一定要注意n的取值范围。例如在某一年的高考数学题中就有这样一道题：数列{an}为等差数列，且a2=0，a6+a8=-10，求数列{an}的通项公式。这种直接点明等差或等比数列的类型题可以直接套用公式。

（三） 叠算法

当我们看到一道数列题，题目中给出了数列任何相邻两项之间的关系式，我们就可以直接根据这个关系式进行运算。比如an+1=an+f（n），可以将题中的转换成n+1或者n-1，接着和原式进行加减消去an+1这样就可以得出an，这种方法就叫做叠加法。若题目中提到它们相除得到的值f（n），所用的方法和上述一样，不过最后用的是乘法，这种方法叫做叠乘法。这两种方法都属于叠算法。

（四） 构造法

数列是比较复杂多变的，有的数列题目即使给出了数列相邻两项之间的关系式，也不适用叠加或叠乘的方法;这时我们就需要灵活的运用我们所学到的知识对题目进行改变，使其变成我们可以直接套用关系式的数列例如等差数列或者等比数列，从而进行运算。若不能变成等差数列我们就可以添上一些数字或式子使其变成新的数列，这种方法就叫做构造法。

二、 高中数学中数列求和的几种方法

（一） 拆项法

当我们看到数列题目中所给的数列若直接是等比数列或者等差数列那么就可以直接套用公式计算。若不是可以将其拆成它们的和，我们还可以直接运用拆项法来解决问题，直接套用等比或等差数列的求和公式就可以，要将其中的式子作为一个整体来看待。这种求和的方法叫做拆分法。

（二） 裂项相消法

若数列题目中给出的数列通项公式已经被算出来，并且这个数列中的每一项都可以分裂为两项的差，那么这个时候就可以消除中间的项，从而求出和的公式，这种方法就叫做裂项消除法。运用这种方法的关键是需要写出数列的通项公式，并且要明确怎样分裂。

（三） 错位相减法

当数列题目中给出的数列的通项公式中幂的次数很高或者幂之前的常数也不确定时，这时我们可以采用错位相减法，比如说将原式中的n变成n-1将得到的式子和原式进行加减得到Sn和Sn-1，最后可以得出Sn。但在这种时候需要尤其注意n的取值范围，要考虑其式子是否有意义，再选择这种方式进行运算。

（四） 奇偶数讨论方法

由于数列的复杂性，在我们计算有些数列时除了需要分段之外，还需要考虑到数列存在奇数和偶数两种不同的情况，我们需要考虑到不同的情况将其综合起来，不能只考虑一种方面。当碰到这种与奇偶数相关的数列问题时，我们要看其指数幂，当幂为n-1或者n+1时，n为偶数时，幂就为奇数，相反来说当n为奇数时，幂就是偶数。

三、 结束语

高中数列作为数学学习中的基础部分，对于学生来说是比较重要和并且是有一定的难度的，因此教师要时时刻刻反思在教学中存在的问题，并不断地去改进，让学生喜欢并乐于主动的去学习数学数列，但是教师也不能止步于此，还应该在未来的教育发展过程中不断摸索出更多的方式来培养学生数列通项与求和的若干方法，从而提高做题的效率，培养数学思维。

参考文献：

[1]李兰.高中数学“数列”单元的教学设计[J].考试周刊，2018（93）：73.

[2]曹亦成.数列知识学习中如何快速掌握重点[J].农家参谋，2018（19）：188.

[3]肖翼.数列学习的几点体会和建议[J].智富时代，2018（9）：232.

作者简介：

杨勇，河南省平顶山市，平顶山市第三高级中学。