不等式问题中的数学思想

摘 要：通过初中、高中的学习我们接触并学习到了不等式及相关阶梯方法，在高考中，不等式与推理证明又是密不可分的，占的分数比重也比较高，所以我们高中生有必要学好不等式这一定理。不等式与推理证明内容丰富，涉及考题变化万千，在复习这一内容时，只有抓住重点方可事半功倍，本文分析不等式问题中的一些数学思想。

关键词：不等式;推理;考题

一、 引言

不等式，我们作为高中生对这个概念很熟悉，经常学到、解题中会经常用到，不等式包含了很多的内容哪个包含了很多数学的性质在其中。例如对称性、传递性、加法单调性（即同向不等式可加性）、乘法单调性、同向正值不等式可乘性、正值不等式可乘方、正值不等式可开方等等很多，不等式的分类也有很多，例如有琴生不等式、均值不等式、绝对值不等式、权方和不等式、赫尔德不等式、基本不等式等等，在这里就不一一叙述了，这些不等式中都包含了数学思想，对解题很有帮助。

二、 不等式包含的数学思想

我们都知道，不等式只是我们高中学习众多内容的一部分，但是却体现出了很多的数学思想，通过高中学习，我们知道证明不等式的一些基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法等，最常见的有比较法、综合法和分析法，這三种方法要求我们能熟练应用。此外，构造函数，利用导数研究该函数的单调性，并利用函数的单调性证明不等式。

（一） 不等式的解法有解题模式，例如：

1. 知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”。但应注意以下两点：①具备条件——正数;②验证等号成立。

2. 知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件。

3. 构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解。

4. 利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数（或式）均为正;②和或积为定值;③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可。

以上通用解法我们可以看出来，这不仅是解题不等式，数学中也是如此，数学思想里包含了以上的模式，数学学科里，每个题目都有类似的解题通用模式，数学里很多都是给出已知条件，根据已知条件进行推理、分析，以达到解题的目的，这也很符合数学思想，得到完美体现。

（二） 不等式的证明

证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法等，最常见的有比较法、综合法和分析法，这三种方法要求我们能熟练应用。此外，构造函数，利用导数研究该函数的单调性，并利用函数的单调性证明不等式，是高考压轴题中常见的题型，我们也应掌握。

比较法证明不等式：

例如设a，b是非负实数，求证：a3+b3≥ab（a2+b2）。

证明：由a，b是非负实数，作差得

a3+b3-ab（a2+b2）=a2a（a-b）+b2b（b-a）=（a-b）（（a）5-（b）5），

当a≥b≥0时，a≥b，从而（a）5≥（b）5，得（a-b）（（a）5-（b）5）≥0;

当0≤a0

（b+c）+（c+a）≥2（b+c）（c+a）>0，

三式相乘得①式成立，故原不等式得证。

分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆。此不等式解题中，也运用了数学思想，推理也是数学中经常用到的解题方法之一，此证明方法也表现出了很强的数学思想。

均值不等式在初等数学中有着非常广泛的应用，在证明不等式成立问题或解决最值问题时，作用显得尤为突出。利用均值不等式解题的关键是凑“定和”和“定积”，要根据不等式的结构，配合一定的变形技巧，比如拆分、配凑等方法，把复杂问题转化为适合使用均值不等式结构的简单问题，从而顺利解决问题。

在分析数学中有些不等式的证明往往比较复杂，若运用代数方法较难得到解决，而且具体的直观含义也比较抽象。因此，为了简化这些不等式的证明过程，通过阅读大量的相关资料，本文从数学的基本概念入手，运用了1种巧妙的方法——概率方法，即根据不等式的主要特征，结合概率论的1些基本概念和公式，通过建立1个适当的概率模型，赋以1些随机事件或随机变量的具体含义，再利用概率论的理论加以证明，讨论了柯西（Cauchy）不等式，级数不等式，詹森（Jensen）不等式和几个1般不等式的证明。本文通过对利用概率方法证明不等式进行了分析，从而得出：概率方法可以为抽象的数学问题提供具体的概率背景，同时还沟通了各数学分支之间的联系;显示了概率应用的巧妙性和优越性，大大简化了不等式的证明过程。

解题不等式有个定理口诀，如下：

解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图、建模、构造法。

以上的口诀和数学思想中的一些定理很类似，都是通过已有的代入，或者类比，更简便的得到结果，达到解题的目的。二者有很大的相似之处。

三、 总结

数学思想在不等式中的体现有很多，很多题型或者方法中都得以体现，数学思想可以应用与各个不等式或者说，应用与各个定理、推论中，数学思想的等价、转化等思想是永恒的，好好理解数学思想的真谛，有利于我们高中生学好各个学科、全面发展。

作者简介：

钱宇航，河北省石家庄市，石家庄市精英中学。