高中数学一元二次不等式解法

后义章 沈明艳

摘 要：一元二次不等式是指：形如ax2+bx+c>0（或<0）的式子，含有1个未知数，未知数的最高次数为2，一元二次不等式的解法可以运用配方法、判断Δ和0的关系、观察一元二次函数图像、数轴穿根法等解题方法来进行解题。下面，我从“结合二次函数图像，数形结合解题”“把一元二次不等式和方程相结合解出不等式”“学生解一元二次方程的易错点分析”三个方面入手，就一元二次不等式的解法进行初步的分析与探讨。

关键词：高中;数学;一元二次不等式解法

在解一元二次不等式时，教师要引导学生考虑到函数、方程和不等式之间的关系，解不等式时，借助方程和函数图像，可以使解题更加方便。通过解一元二次不等式，提高学生的逻辑思维能力和运算能力，使学生意识到事物之间是相互联系、相互转化的，使学生形成数形结合、分类划归思想，培养学生的归纳总结、抽象概括能力。下面，我结合自身的教学实践，就一元二次不等式的解法进行初步的分析与探讨。

一、 结合二次函数图像，数形结合解题

运用二次函数的图像解一元二次不等式，通过数形结合，可以使学生快速找到不等式的解。学生观察一元二次函数的图像，更好地理解一元二次函数和一元二次不等式之间的关系。学生根据一元二次不等式，先画出一元二次函数的图像，根据图像写出一元二次不等式的解集，采用图像解一元二次不等式更加直观，便于学生理解和快速掌握。

例如，不定式x2-x-6>0的解。先判断Δ是否大于0，在这个不等式中，Δ=（-1）2-4×1×（-6）>0，学生作出y=x2-x-6的图像，发现函数有两个实数根，分别为-2和3，观察函数图像，x2-x-6>0的部分为x<-2或x>3。对于不等式4x2-4x+1>0，学生先判断Δ，在这个不等式中Δ=0，所以不等式的解为x≠1/2。我引导学生总结解一元二次不等式的方法：第一步，先把二次项的系数化为正，第二步，求Δ，判断Δ和0的大小关系，如果Δ>0，先求出方程的两个根，再结合函数图像判断。若Δ=0，则函数图像和数轴只有1个交点，若Δ<0，函数和数轴没有交点，结合函数图像进行判断。

二、 把一元二次不等式和方程相结合解出不等式

一元二次不等式和一元二次方程紧密相关，求出方程的根，一元二次不等式问题就可以迎刃而解。因此，一元二次不等式问题可以转化为方程问题进行解答。教师可以引导学生运用因式分解和配方法求一元二次不等式的根。

例如，对于不等式x2-10x+16>0，教师可以引导学生先运用十字相乘法得出（x-2）（x-8）>0分两种情况讨论：（x-2）>0，（x-8）>0或者（x-2）<0，（x-8）<0，最后得出x<2或者x>8。不等式x2+3x-18<0这个不等式，先运用十字相乘法得出（x+6）（x-3）<0，分情况讨论：（x+6）<0或者（x-3）>0或者（x+6）大于0，（x-3）<0，最后得出：-60或者（x+3）>0，（x+1）<0，最后得出-3

教师还可以引导学生运用配方法解一元二次不等式，可以先运用配方法解一元二次方程，得出方程的解。把ax2+bx+c=0的形式转化为（mx+n）2=a的形式进行计算，运用开平方法来进行解题。x2+6x-16>0这个不等式在解题时可以先转化为解方程x2+6x-16=0，再进行下面的解答。方程：x2+6x-16=0先进行移项，得出x2+6x=16，方程两边都加上一次项系数一半的平方，得到x2+6x+9=25，（x+3）2=25，可以得到x=2或者-8。所以x2+6x-16>0的解为x<-8或者x>2。运用配方法解一元二次不等式是经常使用的一种方法，便于学生理解不等式和方程之间的内在联系。

三、 学生解一元二次不等式的易错点分析

在解一元二次不等式时，如果二次项的系数为负数时，首先要把二次项的系数乘-1，使二次项的系数变为正数，再求解一元二次不等式。例如，不等式-x2+2x+3<0，学生在解题时，会忽视二次项系数为负数，解出不等式的解为：-10。解集为x<-1或者x>3。

综上所述，教师要指导学生运用多种解题方法进行综合解题，使学生根据不等式的特点选择合适的方法，使学生运用恰当的方法高效的解出不等式。在解不等式时，教师要使学生理解一些重要的数学思想，比如數形结合、分类讨论等数学思想，为学生后面的数学学习奠定基础。

参考文献：

[1]戚玉振.解答高中数学不等式题的方法[J].语数外学习（高中版下旬），2017（11）：34.

[2]谭博文.浅析一元二次不等式解法[J].农家参谋，2017（13）：184.

[3]潘向宸.一元二次不等式的多元化解决方法探究[J].数学大世界（中旬），2018（9）：82.

作者简介：

后义章，甘肃省陇南市，宕昌县沙湾中学;

沈明艳，甘肃省陇南市，文县桥头学区。