以生为本，在“数”“形”之间探索规律——《数与形》磨课及思考

○马向葵

“数学广角”的教学内容活动性和操作性较强，我们应力求为学生创设充分探究的空间，突出学生的主体地位，彰显“把学生放在课堂正中央”的教学理念。出于这样的考虑，磨课前，我们一起研读了课标，钻研了教材，决定对原有的教学素材进行再创造。

本节课教学例1：借助图形计算从1开始连续奇数相加的和。教学内容中“形”的问题包含着“数”的规律，“数”的问题也可以用“形”来帮助解决，数形联系紧密。对于情境图的呈现方式，备课中大家出现了分歧：先出示算式？还是先出示图形？我们从不同角度进行分析，各有各的道理。情境图中“数”与“形”该如何呈现？接下来该如何组织教学？一系列的问题摆在面前。除了要考虑教学内容外，我们还需研究学生，做到有效教学。带着这样的疑惑与思考开始磨课。

一、“数”“形”谁先行？

1.“数”先行。

先出示1=（ ）²，1+3=（ ）²，1+3+5=（ ）²，目的是让学生通过计算得到4=2²，9=3²。学生能够在教师的引导下看到平方数联想到正方形，但是这种“数”“形”之间的对应关系是在引导下一步步找到，至于这些连续的奇数在图形中的什么地方，平方数代表的又是图形中的什么，学生似乎并不关心，他们只关注怎样算。课后随机采访，有学生说：“老师，你出示算式让我们计算，我们都能算对。为什么还给图形呢？”

学生的话引发了我的思考：先出示“数”，这样的设计有些行不通，没有考虑到学生的认知水平和思维方式。学生在解决问题时并没有把图形的变化与求自然数奇数列的和对应起来，没有发现其中蕴含的数学规律，所以也就没有体会到借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。

要想把课设计得更合理，把握数学本质和研究学生同样重要。我们要努力站在学生的角度去分析问题，尊重学生的已有知识经验。了解到学生的已有认知，教学环节需要进一步调整。

2.“数”与“形”并行。

讨论后决定遵循教材试讲。图形与算式同时出示，预设学生在完成计算的同时能够与对应图形建立联系：比如算出“1+3=2²”后能够与边长是2的正方形建立联系，算式中的连续奇数对应着图形与图形之间增加的小正方形。但是，算式中的加数不断增加时，学生又开始脱离图形，去研究算式中加数的个数与平方数之间的关系，没有达到预期的效果。

这次学生能够自主探索规律，比较、发现并归纳出结论。虽然课堂比较顺畅，但是没有突显“数”与“形”的紧密联系。

3.“形”先行。

先出示图形，学生认真观察，然后用不同的“数”来表达自己发现的规律。学生因为观察角度的不同，汇报交流时出现了不同的规律：有的用“1，4，9，16”，有的用“1×1=1，2×2=4，3×3=9，4×4=16”，还有的用“1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16”。虽然观察、思考的角度不同，但是他们已经把“数”与“形”建立起了关系。

这次试讲做到了从学生的角度看待问题，真正让学生做了学习的主人。好的数学课堂一定是从“教师的教”走向“学生自主的学”，让学生多一点合作，多一点分享，多一点探究，多一点发现。学生有了个性的思考和清晰的表述，他们的主体地位就突显了出来。

二、“数”“形”不分家

因为尊重了学生的认知，学生既能发现加数中有规律，又能发现和中也有规律，进而通过推理，逐步抽象，形成模式，得到“计算从1开始的连续奇数之和等于加数个数的平方”这样的结论。

通过上面的研究，学生已经得出1=1²，1+3=2²，1+3+5=3²，1+3+5+7=4²这样的等式，如果继续出示像前面那样更多的算式，学生很容易发现规律，得到结论。可是我并没有这样安排，既然学生的思维已经被充分调动起来，我更愿意看到学生更深入的思考，通过以下环节让学生充分地感受“数”与“形”之间的关系。

首先出示“1+3+5+7+9”，提出更为发散的问题：看到这个算式，你会想到什么？有了前面积累的学习经验，学生不仅得到“1+3+5+7+9=5²”这样的等式，和等于25，而且还想到边长是5的正方形。此时下结论还过早，让学生慢慢感悟“数”与“形”之间的关系，比如怎样理解5²中的“5”。通过观察、比较，学生很容易说出“5”既是算式中加数的个数，也是对应的正方形边长的数量。抽象的数与直观的图很好地结合在一起，同时也可以进一步验证学生的已有猜想。

然后出示“7²，100”，目的是充分引发学生的想象，利用数值的变化让他们充分感受“数”与“形”的联系。创设合情的推理过程，遵循学生的认知规律，让学生积极参与进来，体验观察、猜想、比较、验证的过程，让学生在逐步感知的过程中“悟”出道理。

三、应用规律，拓展学生视野

在解决问题环节出示“1+3+5+7+9+7+5+3+1=（ ）”和“5+7+9=（ ）”两道题。第一道题可以看成两个算式：1+3+5+7+9=5²，7+5+3+1=4²，和就是5²+4²=41。第二道题有意把“1+3”舍去，加大了难度，看似不同，但与第一题有紧密联系，思维含量更高。经过思考，学生很快有了结果，说：“假设前面加上1+3，这样可以组成‘1+3+5+7+9’，和等于5²，然后减去2²。也可想象成一个边长是5的正方形里面减去一个边长是2的正方形，所以‘5+7+9’就是5²-2²=21。”等她说完，我动态演示课件，借助直观的图形，让学生充分感受“数”与“形”之间的密切联系。

接下来和学生一起感受乘法分配律、勾股定理中的“形”，体会“数”与“形”相互依存、不可分割的关系。

课已经结束，思考却未停止。这次磨课使我认识到：在备课中要充分研读教学素材，结合自身实际做到恰当的取舍，改变原来的“教教材”，同时要结合学生实际设计合理的教学环节。学生是课堂的主人，走进学生，才能懂得学生是怎样思考问题；聆听学生，才能使教与学逐步达到统一；放开学生，才能让他们的思考更加有序、有深度。