基于“3W”视角的解题教学初探

吴韩兴

摘 要：以一道上海高考解析几何试题为例，基于“3W（What、How、Why）”的视角，通过探析解法源头，层层剖析问题本源，反思“一题多解”“解题规律”等途径，阐述了如何在解题教学中引导学生思考问题，如何让解题思路变得更自然，更合乎情理。

关键词：解题；高考；数学

一、解题研究分析

数学大师波利亚曾说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”。关于解题教学，我们一直在研究，且没有一种固定的教学模式。但无论哪种模式，对解法和解题后的反思的研究都是必然的，只是侧重点不同。

纵观各类试题解法研究，一题多解是最受欢迎的，研究者往往呈现各种不同的解法，但这并不意味着解法越多越好。解法要符合学生的思维习惯，符合学生思维的最近发展区，那些过多重视技巧的解法对学生思维能力的发展作用不大，为减轻学生负担，我们尽量少讲或不讲。那些具有普适性的一题多解，可以有效地沟通各知识之间的联系，巩固所学知识；同时优化整合学生思维，突破常规，实现创新。笔者认为，一题多解可作为解题反思的一部分。针对给出的自然解法进行反思，反思解法是否可以简化，得到更简洁的解法；反思是否还有其他的自然途径，进而得到创新性解法。解题教学是思维的体操，教会学生如何思考是解题教学的目的所在，所以关于解法研究，我们重点要关注解法的自然性和合理性，教会学生如何解题。

关于解题反思，其重要性不言而喻，所以解题后反思已成为一种常态，但问题是很多教师不知道反思什么，或者说不知道如何反思。很多解题反思流于形式，不够深刻，大多是泛泛的解题心得反思，缺乏对解题过程或是题目本身深度的思考，反思效果不明显。基于“3W”（What、How、Why）视角的解题反思，是行之有效且具有操作性的一条研究途径。“What”是对问题的分析，“How”是对问题的解答，而“Why”是解题反思中最易忽视也最重要的一步，是对问题解答原因的剖析，是对解题思路的厘清，更是问题本质的探源，简言之就是为何这样解问题。解题教学中，多问几个“为什么”，可以让解题思路变得更自然，更合乎情理。

解题后，能反思的点很多，如对解题过程进行反思，看哪些地方过于繁琐，是否可以进行优化，查找出不足之处，追求简洁完美的解法；对题目条件进行反思，看能否对解法进行多角度思考、联想，探索更多的解题思路；反思解题过程中得到的某些结论，发现一般规律，借助题型归纳通用方法，得到相应结论，提升至理论高度；深入分析题目特点，探求不变的性质，掌握其本质，将题目进行推广，得到一类变式题目，等等。反思不求多，但求深刻。“让解法更自然，让反思更深刻”，这就是基于“3W”视角下的解题教学的核心。

二、解题研究范例

下面笔者就以一道试题作为解题研究的范例，供读者交流、研究。

1.试题呈现

题目：已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B和C、D四点，记得到的平行四边形ABCD的面积为S。

（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2x1y2-x2y1。

（2）设l1与l2的斜率之积为- ，求面积S的值。

本题是2015年上海市高考理科第21题，本题并不是很难，但是非常典型，我们的课堂就需要这样难度适中的题目，挖掘试题的背景、深度与广度等，有利于我们理解解析几何的本质。

2.探析解法源头

关于试题的解法研究我们都是力图寻找最合理、最自然的解题过程，这样的解题过程有益于学生理解为何这样解，学生一旦找到思维的源头，便能沿着源头顺流而下，进而得到问题的最自然解法以及对问题本质的挖掘。限于篇幅，为说明问题，本文仅选择第（2）问进行研究。

分析：l1与l2的斜率之积为- ，也就是 · =- ，即x1x2+2y1y2=0，而我们要求的是面积，也就是2x1y2-x2y1。

式子中有4个变量，它们是否还有其他的关系呢？学生不难发现，这4个变量都和椭圆有關系，点都在椭圆上，所以有x12+2y12=1和x22+2y22=1。于是问题可整理为：

已知实数x1、y1、x2、y2满足x12+2y12=1，①x22+2y22=1，②x1x2+2y1y2=0，③求2x1y2-x2y1的值。

这样我们用坐标把原问题转化为了纯代数的计算。虽过程复杂，但是思维清晰，自然。

那么接下来就是如何解这个代数问题。我们观察条件和结论，条件中都带有平方，且目标结论中带有绝对值。所以我们可以尝试把结论进行平方，拉近和条件之间的距离。

平方得（2x1y2-x2y1）2=4（x12y22+x22y12-2x1y2x2y1）。

对比已知条件，若①×②可以出现x12y22和x22y12的结构，不妨按这个想法试试看。

①×②得x12x22+2x12y22+2y12x22+4y12y22=1，

所以x12y22+y12x22= （1-x12x22-4y12y22）。

所以（2x1y2-x2y1）2=4（x12y22+x22y12-2x1y2x2y1）

=4 （1-x12x22-4y12y22）-2x1y2x2y1

算到这里，我们发现后面三个式子可以应用完全平方公式：

4 （1-x12x22-4y12y22）-2x1y2x2y1

=2[1-（x12x22+4y12y22+4x1y2x2y1）]

=2[1-（x1x2+2y1y2）2]

这里计算就很明显了，可直接利用③式，得：（2x1y2-x2y1）2=2，所以S=2x1y2-x2y1= 。

这样的解题过程是不是很自然呢？整个解题过程一直在“What、How、Why”中循环往复，并将重心放在了“Why”上面。这才应该是教师要教给学生的思维过程，即学生不仅知道怎么做，更要关注为何这样做。教师引导学生对解题步骤进行合情、合理的说明，充分暴露思考的过程，教给学生遇到解题障碍时应该怎样想，让学生学会思考。

3.寻找解题反思点

前文我们提到的几种反思路径，不是每道题目都有同样的反思路径，不同的题目反思的点不同，我们要善于观察题目的特点和自然解法的过程，从中找到反思点。对于本题笔者的反思点有两个：一题多解和解题规律。

（1）反思点：一题多解

对于一题多解的研究，应该是大多数题目都具备的，可以从自然解法的优化中寻找更简洁的方法；或是从不同的解题知识源入手，得到不同的创新解法。

观察本题属动态题，动态过程的起因是直线，所得答案又是一个定值，所以我们用两条动直线的斜率来表示上述解法中的x1、y1、x2、y2应该是可以的，于是有了下面的解法。

另解1：设直线l1的方程为y=kx，则l2的方程为y=- x，A（x1，y1），C（x2，y2）。

由y=kxx2+2y2=1得x12= ，y12= ，同理可得x22= ，y22= 。

因为x1x2+2y1y2=0，所以（2x1y2-x2y1）2=4（x12y22+x22y12-2x1y2x2y1）

=4（x12y22+x22y12+x12x22）=4 + +

=4 =2。

所以S=2x1y2-x2y1= 。

一题多解有个作用就是简化，我们观察上面两种解法都有4个变量，虽另解1中用直线的斜率替换了，但是解题过程中4个变量还是参与了运算，那么我们从简洁这点出发，能不能简化上述解法呢？观察题目，我们还有一个条件没有用上，两条直线均过原点，所以可以利用直线方程转化同一点的横纵坐标，得到新的解法。

另解2：设直线l1的方程为y=kx，则l2的方程为y=- x，A（x1，y1），C（x2，y2）。

由y=kxx2+2y2=1得x12= ，同理可得x22= ，得

S=2x1y2-x2y1=2 +x2·kx1= ·x1x2= =

（2）反思点：解题规律

题目解法求解完毕之后，我们再次观察条件和结论，已知两直线的斜率乘积- ，最后求得的面积是一个定值，那么我们肯定会有这样的想法，这个定值会不会和两直线的斜率乘积- 有什么样的关系，如果两直线的斜率乘积为其他值，这个面积又会是什么情况呢？笔者根据这个想法做了下面的探索：

设k1·k2=α，得到S=2x1y2-x2y1= ，我们观察，只有α取- 时，这个式子才能是定值。这说明- 是一个特殊的值，一定和椭圆方程有分不开的关系，命题者也正是看到了这一点，才选取了- 这个特殊的值。那么到底有怎样的关系呢？我们先把椭圆方程化为标准式：x2+ =1，a2=1，b2= ，所以- =- 猜想。

由此我们可以得到题目的一般性变式：

变式：已知椭圆 + =1（a>b>0），过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B和C、D四点，记得到的平行四边形ABCD的面积为S。若l1与l2的斜率之积为- ，求面积S的值。

证明：y=kx + =1得x12= ，同理可得x22= ，从而得到S=2ab。

得到的这个结论，我们可以直接应用于各类高考题中。这是对题目一般性解题规律的归纳，像这样的解题规律解题过程中时刻存在，教师要注意观察，引導学生不断进行探索，发散学生

思维。

三、解题研究感悟

也许很多教师都有过这样的困惑：讲过的题目过一段时间再考，学生还是不会做。学生也有同样的困惑：这道题明明记得老师讲过，可就是想不起怎么做了。产生困惑的主要原因之一就是，无论是教师还是学生都只关注怎样解，对于为何这样解关注甚少，更缺少深层次的分析和解题后的反思归纳。这样不利于学生分析问题能力和迁移能力的培养。所以在日常解题教学中，除了告诉学生题目怎么解之外，更重要的是讲解为何这样解，同时还要进行解题反思，注重解题规律的提炼与数学思想的升华，对题目的背景、解题中闪现的念头等都可以成为我们反思的对象，分析一题但不限于一题，这也是解题教学必不可少的一步。基于“3W”视角的解题教学，有效地解决了解题教学中对于“为什么”的层层追问与深入，这也符合波利亚“怎样解题”的相关理论。

解题教学中要抓住这两个关键点，解法自然要求教师把你的解题思维全程展现出来就可以了，或是沿着学生已有的思维障碍的思路进行思考都是自然、合理的解法；关于解题反思，特别是解题反思点的确定，需要教师对题目有深层次的研究，只有深层次的研究才能引导学生进行有深度的反思。

参考文献：

[1][美]波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海科技教育出版社，2011-11.

[2]王红权.“高考真题分析”习题课的教学实践与思考[J].中小学数学（高中版），2015（4）.

编辑 赵飞飞