“一字之差”的思考

周香

摘 要：数学是思维的体操，就像做广播操可以锻炼身体一样，学数学可以锻炼思维。下面，一起来体验数学中“一字之差”带来的思维体操吧。

关键词：数学；巧妙解法；思考

思维训练1：设ω>0，函数f（x）=2sinωx在- ， 上是增函数，那么ω的取值范围是 。

思维体操1-1（常规的数学思维）：从定义出发，- ， 应该是f（x）=2sinωx所在增区间中某个增区间的子集。

解：当- +2kπ≤ωx≤ +2kπ（ω>0，k∈Z）时，- + ≤x≤ + ，即f（x）=2sinωx在- + ， + k∈Z上分别单调递增，- ， 是f（x）过坐标原点的增区间，则

- + ≤- ； + ≥ ；ω>0.

解得当k=0时，0<ω≤ ；当k≠0时，ω无解。

综上ω的取值范围是（0， ]。

思维体操1-2（巧妙的数学思维）：从图象的周期出发，f（x）=2sinωx的每个增区间的区间长度应不超过其周期的一半。

解：由

-- ≤ ；T= 。

有ω≤ ，又ω>0，故ω的取值范围是（0， ]。

思维总结：“思维体操1-1”从定义出发，踏踏实实一步一个脚印的做法，虽然是正确的，但是计算非常繁琐，容易导致计算错误；而“思维体操1-2”利用三角函数的周期性和单调性简化了计算，思维非常巧妙，同时也体现了学生对三角函数性质灵活运用的能力。

但是，是不是类似这样的题目都可以以“思维体操1-1”或者“思维体操1-2”的方法解答呢？下面请看“思维训练2”。

思维训练2：设ω>0，函数f（x）=2sinωx在- ， 上是增函数，那么ω的取值范围是 。

“思维训练2”是在“思维训练1”的基础上仅仅更改了一个数字，结果还会不会一样呢？解题思路、方法又会有什么样的变化呢？

思维体操2-1：类似“思维体操1-1”常规的思维，从定义出发，- ， 应是f（x）=2sinωx所在增区间中某个增区间的子集。

解：由

- + ≤- ； + ≥ ；ω>0.

解得当k=0时，ω≤ 且ω<2；当k≠0时，ω无解。

综上ω的取值范围是（0， ]。

思维体操2-2：同样也可从图像的周期性与单调性出发，

f（x）=2sinωx每个增区间的区间长度应不超过其周期的一半。

错解：由

-- ≤ ；T= 。

有ω≤ ，又ω>0，故ω的取值范围是（0， ]。

正确解法：由于f（x）=2sinωx是奇函数，关于原点对称的定义区间内的单调性是一致的，故- ，0与0， 单调性一致，都是单调递增的。所以，

-- ≤ ；T= 。

有ω≤ ，又ω>0，综上ω的取值范围是（0， ]。

思维总结：“思维体操2-1”沿用了常规的定义法，虽然无法避免计算上的繁琐，但是实实在在地保证了结果的正确性；而“思维体操2-2”在利用巧妙的思维时却弄巧成拙，上面的错解看似天衣无缝，无懈可击，但因为它忽视了f（x）=2sinωx函数本身所具有的对称性，导致了过程、结果的错误。不过，我们不能因为一个错解而否定一种巧妙的解法，只要成功地挖掘出题目的隐含条件，加上周全的考虑，“巧妙的思维、解法”仍然可为我们节省了许多计算量，使得解答过程更为简便。“思维体操2-2”中的正确解法就是一个很好的体现。

两道思维训练题，大同小异，却给我们带来了很多的思考。遇到此类题目，我们常常会出错，原因是：

第一，计算能力太差。

第二，不善于寻找和挖掘题目的隐含条件。

第三，缺乏严谨的数学思维。

总结：我们中常常会有这样的同学，面对老师刚给他講过不久的题目，如果没有老师的指点他仍然是一头雾水，感觉山重水复疑无路，这就是忽视方法的总结和反思的典型例子。所以，在数学的学习中，我们应该认识到数学的学习不应该只是结果的学习，更应该是过程的学习；要注重对比学习、变式学习，在对比中达到举一反三、事半功倍的功效。死记硬背并不是长久之计，特别是对于一些常用的结论或者解题方法，只有在理解的基础上加以记忆，才能够在面对各种相关问题时应用自如。

参考文献：

[1]陈德前.在数学学习中锻炼思维[J].初中生世界，2009（14）：31-32.

[2]宋强，刘耀晓.让思维来做体操[J].学周刊（b），2010（2）：149.

编辑 杜元元