控制变量法探索“SSA”

吕娟

北师大版七年级下册第四章第三节“探索三角形全等的条件”课中，学生通过探索、作图、比较、推理得出SSS，ASA，AAS，SAS可以判断两三角形全等。但是对“SSA”到底能否判定三角形全等，在什么情况下可以证明三角形全等，存在较深的疑惑。教材的处理方法是给出条件“两条边分别为2.5cm，3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°”，画出两个不一样的三角形举出反例进行否定。

北师大版八年级下册第一章第二节“直角三角形”第二课时探索直角三角形特殊的全等条件HL，其实质也是对SSA探索中的一种特殊情况。如果能借助这节课对SSA的探究进行深度挖掘，学生的收益将会更多。下面给出笔者的设计供读者参考。

探究1：两边分别相等且其中一组等边的对角相等（简称“SSA”）的两三角形全等吗？

请同学们看PPT，给定条件：BC=3.5，BA=2.5，∠C=40°，能作出两个不一样的三角形：△ABC和△A′BC，如图1，它们不全等。

结论：两边分别相等且其中一组等边的对角相等（简称“SSA”）的两三角形不一定全等。

探究2：两边分别相等且其中一组等边的对角相等（简称“SSA”）的两三角形一定不全等吗？

请同学们作△ABC，其中BC=2.5，BA=3.5，∠C=90°。

发现：如图2，作出的满足条件的三角形只有一个。当“∠A”是90°时可以判断两三角形全等。

这个结论就是我们即将要学的定理：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

此定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”（此定理证明PPT展示，此处略）

结论：两边分别相等且其中一组等边的对角相等（简称“SSA”）的两三角形不一定不全等。

探究3：根据探究1、2，改变一些条件，满足“SSA”条件的两三角形全等。从作图过程来看，如果作出唯一的点A，就能得到唯一的三角形，此时的两三角形全等。请问，改变哪些条件使得作图过程中只能出现一个点A？

猜想：∠C的大小，BA和BC的相对长短都能影响作图时点A的个数。当多个变量对结果都有影响时，我们用控制变量法来探索单一变量与结果的关系。

（1）当∠C<90°时，分三种情况：

当a>c时，如图3，出现两个点A，（仅当∠BAC=90°时，只出现一个点A，为HL定理）

當a=c时，如图4，出现一个点A。

当a

（2）当∠C=90°时，根据“大角对大边”，只有c>a时，构成直角三角形，此时为定理“HL”；a≤c时不构成三角形。

（3）当∠C>90°时，根据“大角对大边”，只有c>a时，构成三角形，此时只有一个点A。

结论：两边分别相等且其中一组较大边的对角相等的两个三角形全等。

证明过程如下：

分两种情况。

（1）已知：如图6，当∠BCA>90°时，△ABC与△DEF中，BC=EF，AB=DE（AB>BC），∠ACB=∠DFE，

求证：△ABC≌△DEF

证明：分别过点B，E作边AC，DF上的垂线，垂足分别为G，H。先证明△BCG≌△EFH（AAS），得BG=EH；再证△ABG≌△DEH（HL），得∠A=∠D，最后证明△ABC≌△DEF（AAS）

（2）图7的证明过程和图6的一样。

自此，我们得到一个严谨的结论：两边分别相等且其中一组较大边的对角相等的两个三角形全等。

本节课我们讨论了两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理。同时借助控制变量法系统地探索研究SSA条件，不仅让学生对满足SSA条件能否判断两三角形全等有了完整认识，进一步掌握了推理证明的方法，还发展了学生演绎推理的能力和钻研的精神。

编辑 谢尾合