基于曲率模态和小波变换的结构损伤识别

(广东工业大学土木与交通工程学院 广东 广州 510006)

一、曲率模态

曲率是位移空间上的二阶导数，代表了该条曲线的弯曲程度，曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，由于结构发生损伤时的曲率是与刚度成反比的，我们知道当结构发生破坏时，刚度会下降，所以曲率会升高[3]。曲率模态是承弯结构发生弯曲振动时所特有的一种变形模态,它可以通过位移模态通过计算获得，但是它比位移模态在对于局部损伤的识别具有更好的效果。

用曲率模态作为损伤识别的指标拥有以下几处优势[4]：第一，曲率模态对于结构的局部几何尺寸的变化和内部损伤识别效果比较好，可以直接研究某点的应力应变问题，同时它对局部损伤的敏感性也降低了对原始结构信息的完整度。第二，一般在实验中应变模态需要高灵敏度的低频传感器，但是在实际测试中会有一定的局限性，而结构的振型比较好获取，我们可以通过曲率与振型的函数关系间接获取曲率模态。

利用结构的位移模态振型，曲率模态就可以用中心差分法获得：

(1)

其中，φim表示第i阶的位移幅值，Δl为相邻两测点间的距离。

二、小波变换理论

小波就是指在一个小区域里的波，它是一种在零的上下波动的，有一定长度的波形。这里的一定的长度指的就是它的时间是有限的，它具有2个特点[5]：第一点是“小”，小是指在时域内是一个很小的波；第二点是“波动性”，这是指小波不是一成不变的，它在时域上是正负来回交替的，也就是支流分量为零。

通常傅里叶变换只对于稳态信号比较适合，但是对于实际工程来说这点并不容易做到，而小波对于非稳态的信号处理结果也很好，它是一种时域和频域都能变化的方法，对于低频的信号，小波变换有比较低的时间分辨率却在频率段上有较高的分辨率；对于高频的信号，它有比较低的频率分辨率却在时间段上有较高的分辨率。

(一)连续小波变换

对于函数f(t)的连续小波变换为：

(2)

其中，W(a,b)为小波系数，a是伸缩因子，表示窗口的宽度，与信号频率有关，a越大，表示对信号中的低频部分分辨率较好[6]；b是平移因子，表示窗口的位置，与信号发出的时间有关。

(二)离散小波变换

由一维函数f(x)经过小波变换得到二维小波变换系数Wf(s,u)后信号量是冗余的，我们需要在有限的离散尺度和位移值下对其进行小波变换，使函数的信息不会丢失，离散小波变换是对基本小波的尺度和平移进行离散化[7]。这里的离散指的不是时间变量，而是对伸缩因子和平移因子的离散。

离散小波函数为：

(3)

而离散化小波变换系数则可表示为：

(4)

其重构公式为：

(5)

其中，C是一个与函数无关的常数。

三、结论

曲率模态差法能定位的识别出损伤单元，且能定量的识别出不同的损伤程度，且模型变复杂的情况下也能识别出绝大多数工况，所以曲率模态差法对于结构损伤的识别是有效的。不同形式的单元的曲率模态差值不同，干扰程度不同，识别效果当然也不同；约束对于单元的损伤识别是有影响的，越靠近约束的单元越容易被识别出来，曲率模态差法对空间刚架结构和空间网架结构均有一定的识别能力。

曲率模态差法对于非常复杂的模型的多损伤识别容易识别不完全所有的损伤单元，而通过小波变换可以将干扰单元消除，能准确定位出损伤的位置。