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谈古代数学文化与现代数学的优美结合

2019-03-28河南省焦作市职业技术学校刘艳群

中学数学杂志 2019年5期
关键词:良马九章算术多面体

☉河南省焦作市职业技术学校 刘艳群

2017年新课标高考考纲明确指出:增加考查我国古代数学文化与现代高考的优美结合.显然,考纲这样处理,有利于拓宽考生的知识面,凸显古代数学文化的辉煌成果;有利于考查考生的阅读理解能力和应用能力;有利于培养考生的创新精神,提高考生的数学素养.基于此,请赏析以下有关我国古代数学文化与现代数学的优美结合题.

类型一、我国古代数学文化与数列的优美结合

1.与等差数列优美结合

例1 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢?( ).

A.9日 B.8日 C.16日 D.12日

解析:由题意知,良马每日行的距离构成等差数列,记为{an},其首项a1=103,公差d=13;驽马每日行的距离也构成等差数列,记为{bn},其首项b1=97,公差d′=-0.5.

设两马经过m日相逢,则依据题意可得:

评注:本题需要先读懂简单的古文知识,将具体的实际问题转化为熟悉的等差数列问题;然后借助等差数列的求和公式加以求解.

2.与等比数列优美结合

例2《九章算术》是我国古代的数学名著,其中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织了5尺布,问:该女子每天分别织布多少?”据此分析,若织布的总尺数大于或等于30尺,则该女子至少需要( )天.

解析:设该女子第一天织布x尺,则根据题意可得≥30,得2n≥187,故n的最小值为8.故选B.

评注:对于本题,需要先读懂题意,将具体的实际问题转化为熟悉的等比数列问题;然后借助等比数列的求和公式灵活处理.

3.以数表为载体,与多个等差数列优美结合

例3 下面的数表为“森德拉姆筛”(森德拉姆,东印度学者),其特点是每行每列都成等差数列.

2 3 4 5 6 7 …3 5 7 9 11 13 …4 7 10 13 16 19 …5 9 13 17 21 25 …6 11 16 21 26 31 …7 13 19 25 31 37 ……………………

在上表中,101出现的次数为______.

解析:记第i行第j列的数为aij,那么每一组i与j的解就对应表中的一个数.

因为第1行的数组成的数列{a1j}(j=1,2,3,…)是以2为首项,1为公差的等差数列,所以a1j=2+(j-1)×1=j+1;

又第j列数组成的数列{aij}(i=1,2,3,…)是以j+1为首项,j为公差的等差数列,所以aij=j+1+(i-1)×j=ij+1.

令aij=101,则ij=100=1×100=2×50=4×25=5×20=10×10=20×5=25×4=50×2=100×1.

注意到因式1×100,可理解为101出现在数表的第1行第101列的位置,其他因式类似理解.

故101出现的次数为9.

评注:求解本题的关键点有两个,一是两次灵活运用等差数列的通项公式准确求得aij=ij+1;二是对数字100进行因式分解,要考虑全面.

类型二、我国古代数学文化与立体几何的优美结合

图1

1.与割补法求体积优美结合

例4 我国古代数学名著《九章算术》卷五“商功”有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何?”如图1,可将其意思翻译为:今有底面为矩形的屋脊形状的多面体,其中AD=3丈,AB=4丈,EF=2丈,无宽,直线EF∥平面ABCD,且直线EF与平面ABCD的距离为1丈,那么该多面体的体积是多少?经计算,所求体积为( ).

A.4立方丈 B.5立方丈

C.6立方丈 D.8立方丈

解析:如图1所示,过点E作底面ABCD的垂面EGH分别交AB,DC于点G,H,过点F作底面ABCD的垂面FMN分别交AB,DC于点M,N,则该多面体被分割为两个全等的四棱锥E-DAGH,F-NMBC和一个直三棱柱EGH-FMN.

故该多面体的体积为1+1+3=5(立方丈).故选B.

评注:结合图形,理清题意之后,求解的关键点在于通过作截面,将所给的多面体分割成两个四棱锥和一个直三棱柱,有利于借助“割补法”巧求体积.

图2

2.与特殊的几何体优美结合

例5 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义:阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥;鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体;堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图2,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC.

若A1A=AB=2,当阳马B-A1ACC1的体积最大时:

①求堑堵ABC-A1B1C1的体积;

②求点C到平面A1BC1的距离;

③求二面角C-A1B-C1的余弦值.

图3

评注:本题易错点:不能准确理解新名词(堑堵、阳马、鳖臑)的具体含义;不能将立体几何中的有关概念、判定定理、性质定理及锥体的体积公式加以灵活运用.

综上,求解此类问题时,需要先读懂题意(很有必要熟悉简单古文的翻译),再灵活运用所学数学知识灵活处理.W

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