椭圆曲线y2=nx(x2+16)的整数点
2019-03-27郭梦媛
郭梦媛，高 丽，郑 璐
(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)
在直角坐标系中，若某一点的纵、横坐标都是整数，则称为整数点.一直以来，椭圆曲线上的整数点个数是数论学者关注的重要问题.关于椭圆曲线y2=nx(x2+b)，(n,b∈Z+)的整数点问题目前已经有了一些成果，例如：文献[1-4]已经对b=1进行了一些研究，得出结论当b=1，n=2p时只有解x,y=(3,4),(99,1 820)2组解.文献[5-9]已经对b=2进行了一些研究，得出结论当b=1时，只有在n=11,47 963,4 076 363,31 573 163时椭圆曲线至多有一组解.文献[10]得出当b=4且Pj≡3,7(mod 8)为奇素数时，椭圆曲线至多只有1个正整数点.文献[11]得出当b=32且Pj≡5(mod 8)为奇素数时，椭圆曲线没有正整数点.本文在此基础上对当b=16时，对椭圆曲线y2=nx(x2+16)的整数点问题进行了讨论并得出了当b=16且Pj≡3,7(mod 8)为奇素数时，椭圆曲线除整点(0,0)以外，至多只有2组整数点的结论.
引理1设gcd(D1,D2)=1,D1,D2为非平方的正整数，如果D1>1，则方程D1X2-D2Y4=1至多有1组正整数解(X,Y).
定理1如果n是无平方因子的正奇数，n的所有素奇数pj(j∈Z+)都满足Pj≡3,7(mod 8),则椭圆曲线
y2=nx(x2+16)
(1)
除整点(0,0)以外，至多只有2组整数点.
证明：显然(x,y)=(0,0)是椭圆曲线(1)的1组整数点，设(x,y)，x,y∈Z+是椭圆曲线(1)的整数点，因为n是无平方因子的正奇数，故由(1)式知n|y，设y=nz,z∈Z+将其代入(1)式中可得
nz2=x(x2+16)
(2)
因为gcd(x,x2+16)=gcd(x,16)=1或2，或4，或8，或16.故⑵式可以分解为以下5种情况.
情况I：x=pa2,x2+16=qb2,z=ab,n=pq,gcd(a,b)=1；
情况II：x=2pa2,x2+16=2qb2,z=2ab,n=pq,gcd(a,b)=1；
情况III：x=4pa2,x2+16=4qb2,z=4ab,n=pq,gcd(a,b)=1；
情况IV：x=8pa2,x2+16=8qb2,z=8ab,n=pq,gcd(a,b)=1；
情况V：x=16pa2,x2+16=16qb2,z=16ab,n=pq,gcd(a,b)=1；
其中a,b∈Z+,下面分别讨论在以上5种情形下，椭圆曲线(1)的整数点的情况.
情形Ⅰ 将x=pa2代入x2+16=qb2，可得
p2a4+16=qb2.
(3)
i)当q>1时,q中至少含有一个素因子qj,j∈Z+，有题意得qj≡3,7(mod 8),对(3)式两边同时取模qj，可得
p2a4≡-16(modqj)
.
(4)
所以式(4)不成立，则式(3)不成立，因此当q>1时，情形Ⅰ不成立.
ii)当q=1时，p=n,由x2+16=qb2，可得b2-x2=16，解之得(b,x)=(5,3),(-5,-3),(4,0),(-4,0)，由x=na2，即na2=3，-3，0，又因为n≡3,7(mod 8)为奇素数，故na2=3，即n=3,a=1，所以x=3a2，即(x,y)=(3,25)是椭圆曲线(1)的1个整数点.
情形Ⅱ 将x=2pa2代入x2+16=2qb2，可得4p2a4+16=2qb2,
即
2p2a4+8=qb2.
(5)
i)当q>1时,q中至少含有1个素因子qj,j∈Z+，有题意得qj≡3,7(mod 8),对(5)式两边同时取模qj，可得2p2a4≡-8(modqj)
即
p2a4≡-4(modqj)
(6)
所以式(6)不成立，则式(5)不成立，因此当q>1时，情形Ⅱ不成立.
(7)
因为n是奇数，a是奇数，故等式左边为奇数，但b是偶数，故等式右边为偶数，等式显然不成立，因此当q=1时情形Ⅱ不成立.
情形Ⅲ 将x=4pa2代入x2+16=4qb2，可得16p2a4+16=4qb2,
即
4p2a4+4=qb2.
(8)
i)当q>1时,q中至少含有1个素因子qj,j∈Z+，有题意得qj≡3,7(mod 8),对(8)式两边同时取模qj，可得4p2a4≡-4(modqj),
即
p2a4≡-1(modqj).
(9)
所以式(9)不成立，则式(8)不成立，因此当q>1时，情形Ⅲ不成立.
ii)当q=1时，p=n，此时由x2+16=4qb2，可得(2b)2-x2=16，解之得(b,x)=(2,0),(-2,0),由x=na2，即na2=2，0，又因为n≡3,7(mod 8)为奇素数，故无解，因此当q=1时情形Ⅲ不成立.
情形Ⅳ 将x=8pa2代入x2+16=8qb2，可得64p2a4+16=8qb2,
即
8p2a4+2=qb2.
(10)
i)当q>1时,q中至少含有一个素因子qj,j∈Z+，有题意得qj≡3,7(mod 8),对⑻式两边同时取模qj，可得8p2a4≡-2(modqj);
即
4p2a4≡-1(modqj)
(11)
所以式(11)不成立，则式(10)不成立，因此当q>1时，情形Ⅲ不成立.
ii)当q=1时，p=n，此时(10)式为
8p2a4+2=b2.
(12)
可得2|b，则令b=2c，c∈Z+，则式(12)可化成8p2a4+2=4c2，即2c2-4n2a4=1，由引理可知该方程至多只有一组整数点(c,a)，所以方程(2)至多只有一组整数解(x,z)，因此椭圆曲线(1)至多只有一组整数点(x,y).
情形Ⅴ：将x=16pa2代入x2+16=16qb2，可得256p2a4+16=16qb2,
即
16p2a4+1=qb2.
(13)
i)当q>1时,q中至少含有一个素因子qj,j∈Z+，有题意得qj≡3,7(mod 8),对(13)式两边同时取模qj，可得
16p2a4≡-1(modqj)
(14)
所以式(14)不成立，则式(13)不成立，因此当q>1时，情形Ⅴ不成立.
ii)当q=1时，p=n，此时由x2+16=16qb2，可得(4b)2-x2=16，解之得(b,x)=(1,0),(-1,0),由x=na2，即na2=1，0，又因为n≡3,7(mod 8)为奇素数，故无解，因此当q=1时情形Ⅴ不成立.
综上所述，定理1得证.
