地面与飞行状态下固体发动机比冲差异性分析①

何景轩，侯 晓

(1.中国航天科技集团公司四院四十一所，西安 710025；2.中国航天科技集团公司四院，西安 710025)

0 引言

弹总体对固体发动机一般提出海平面、某一高度或真空条件下比冲等性能要求，固体发动机的性能可通过地面或者地面高空模拟试验直接获得推力，从而获得发动机的实际比冲。固体发动机的内弹道模型是在试验数据的基础上所建立的性能预示模型，在此基础上，可根据某一发动机的实际相关参数来准确预示该发动机的性能。对于参加飞行试验的发动机，可用导弹飞行中相关遥测参数进行发动机的性能评估，目前飞行状态下固体发动机推力的辨识主要有两种方法：利用导弹飞行中获得的视加速度和弹体相关质量及其变化进行比冲辨识；基于发动机内弹道预示模型，根据飞行中遥测压强进行发动机比冲的辨识。文献[1]采用飞行试验遥测参数和地面试验相关参数来获得VEGA各级固体发动机的实际性能，指出为了降低由飞行试验数据反算发动机实际性能的不确定度，需引入更为复杂的喷管喉衬烧蚀规律。文献[2]采用发动机内弹道计算模型BEEP，以遥测压强为基础，通过调整发动机的性能以匹配该外弹道条件下的视加速度来评估固体发动机的比冲。文献[3]采用视加速度方法对固体发动机的比冲进行了计算，与发动机内弹道模型计算的发动机比冲吻合度好，平均比冲相对最大偏差为0.4%。文献[4]采用外弹道模型对固体发动机比冲进行了计算。在发动机研制中，通过对多个型号飞行试验结果分析，在飞行状态下，除一些发动机因大过载条件下燃烧产物有较多沉积而没有预先进行准确预测其质量变化率外，这两种辨识方法均可进行发动机性能的评估。

随着导弹制导控制与精度要求的进一步提高，在型号研制过程中，也发现采用视加速度方法辨识的发动机比冲与地面试验所获得的比冲还是有一个较小的差异。文献[2]对大力神固体助推器的比冲进行了分析，指出并不是发动机的总冲发生了变化，而主要在于通过改变发动机的比冲以匹配视加速度这种辨识方法所造成，分析认为该发动机比冲天地差别为1.4 s(17.3 N·s/kg)，其中比冲曲线形状的变化占0.9 s(8.82 N·s/kg)，气动阻力部分占0.3 s(2.94 N·s/kg)。针对固体发动机性能天地差异性问题，文献[5]对其产生的原因进行了分析，提出了弹体起飞质量、发动机质量流量规律、发动机附加质量及沉积质量等因素对性能辨识的影响，其主要集中在弹体质量及其变化对性能辨识的影响上，并对相关因素进行了具体分析。

本文首先排除天地性能辨识中一些测试误差对辨识结果的影响，主要从理论上对一些影响性能天地差异性的固有因素与本质原因进行探究，为准确辨识发动机的性能以及外弹道计算与控制提供依据。

1 固体发动机比冲计算方法

1.1 地面试验发动机比冲

对于地面或者高空模拟试验发动机均可直接测得推力，根据实际环境大气压强或者实测模拟舱压通过换算获得发动机的海平面或者真空条件下发动机的推力。推力对时间的积分除以实测推进剂质量，可得发动机平均比冲：

(1)

1.2 飞行状态下基于视加速度的发动机比冲

在真空或者气动阻力忽略不计的条件下，由飞行中获得的视加速度计算发动机的推力：

(2)

根据式(2)获得推力，再应用式(1)可计算发动机的平均比冲。此外，可选取发动机工作过程中某一时间段推力相对平稳的区间，在该区间内可近似认为dF/dt=0，同时假设发动机的比冲为常数，则经过一系列推导可得发动机的比冲：

(3)

式(3)可提供一种发动机比冲的估算方法，其基础是高精度稳定的视加速度测试数据，由于每一时刻点的视加速度数值的微小差异会导致计算结果散布较大，且实际工作中dF/dt≠0，并涉及到力变率与加速度能量增量等，所以在后面分析中不涉及式(3)。

1.3 飞行状态下基于内弹道模型的发动机比冲

以遥测压强为基础，利用内弹道模型可获得发动机推力：

F=CF(t)pc(t)At(t)

(4)

式中pc(t)为遥测压强；CF(t)为根据地面试验得到海平面或者真空状态的推力系数；At(t)为根据多发地面试车前后喷管喉径实测值确定的喷管喉径变化规律。

从固体发动机比冲计算模型看，基于视加速度方法主要考虑导弹在飞行过程中初始质量及其质量的变化等因素；而基于内弹道模型，主要依据遥测压强及相关性能参数，在排除飞行大过载条件下某些型号发动机燃烧产物的沉积引起质量特性较大变化而未进行有效预示等情况外，基于内弹道模型与地面试验获得的发动机比冲一致，只要发动机遥测压强曲线与预示压强曲线吻合较好，或者平均工作压强一致，则该模型就能够满足发动机比冲的辨识要求。固体发动机性能辨识的差异性主要是采用基于视加速度模型时与地面试验获得的比冲存在一定且较小的差异，即性能天地差异性的问题，根据现有公开报道[1-3]以及多个研制型号的分析结果，这种性能差异基本在1 s左右，且在1.5 s以内。下面对其差异性进行分析。

2 地面与飞行状态下固体发动机比冲的差异性分析

2.1 发动机的推力与飞行速度的关系

Sutton[6]指出，火箭发动机的推力与飞行速度的关系为接近常数(Nearly constant)；文献[1]认为，由飞行试验所得到的喷管效率要高于静止试验状态喷管的效率，但相差不大，加速飞行状态下喷管扩张段内气固两相流运动特性等变化对性能的影响可忽略不计。为了便于分析，把该问题进行理想化处理并考虑极端状态，在不考虑阻力和重力条件下，设导弹的初速为零时，基于齐奥尔科夫斯基和阿克莱相关公式，其理想末速度分别为

(5)

(6)

式中v为导弹的速度；ue为燃气相对于导弹的喷气速度；M0为导弹初始总质量；Mp为发动机装药质量。

该式未考虑阻力和地球引力等引起的损失，代表理想的极限情况。当ε=v/c→0，阿克莱公式简化为齐奥尔科夫斯基公式，故齐奥尔科夫斯基公式是阿克莱公式的特例，是对极限状态阿克莱公式计算的理想飞行速度增量的正修正。通常导弹飞行条件下ε基本等于0。因此，两式基本没有差别，也就是通常意义上的发动机本身的推力与飞行速度无关[6]。

2.2 发动机的推力与飞行高度的关系

固体发动机提供的性能参数一般为海平面或者真空条件下的性能，飞行条件下，外弹道计算中发动机的推力按照相应高度的环境压强等因素进行修正。例如，发动机的海平面推力为

(7)

F=F0+Aepa(1-p/pa)

(8)

发动机推力公式中，环境压强p由导航结果和大气模型计算得到，但发动机提供的海平面或者真空条件下的性能F0保持不变。

2.3 导弹质量变化对性能的影响

导弹质量变化主要包括发动机和弹上伺服燃气源等其他系统质量变化以及部分部件分离质量等。其中，发动机秒流量包括两个部分：一是按照实际装药质量确定的秒流量；二是发动机热结构烧蚀质量所带来的附加质量秒流量。推进剂的秒流量可根据实际装药量及工作时间等条件准确确定，而发动机的附加质量包括燃烧室内绝热层、喷管固定体绝热层、喉衬组件及扩张段等绝热结构烧蚀产生的秒流量，附加质量一般天地之间会有所差别，其中包括一些飞行弹道与过载条件下热结构烧蚀质量相比地面有所增加，或者一些推进剂在飞行过载条件下的燃烧特性有所变化而造成凝相颗粒的沉积等情况，这些质量均需通过地面过载试验、固体发动机立式试车或者通过飞行试验的反算来获得。

设导弹的质量变化的一般规律为

M=M0f(t)

则质量变化率为

dM/dt=M0f′(t)

(9)

在真空重力场中铅直平面内以一定俯仰角θ条件下飞行时，其运动方程为

(10)

当t=0时，有Mt=0=M0及f(0)=1，可得

Δv=-uelnf(t)-gtsinθ

(11)

从上式分析可知，导弹的质量变化对性能的评估影响较大。其中，发动机装药的秒流量和伺服燃气源等可准确预示，而发动机的附加质量因天地可能有所差异，会对性能评估有所影响；同时，也需考虑导弹质量变化与该时刻视加速度的匹配性。

2.4 发动机推力一定时不同弹道的速度增量

导弹的空间运动可看成变质量物体的六自由度运动，由两个矢量方程描述。通常将矢量方程投影到坐标系，形成三个描述导弹质心运动的动力学标量方程和三个描述导弹绕质心转动的动力学标量方程。为了简化分析，设在铅直平面内重力场中，在一定俯仰角θ条件下无气动阻力飞行时，其理想速度增量为

(12)

由式(12)可知，导弹的俯仰角越大，则发动机的推力需直接克服重力的作用，这样不利于提高导弹速度。如图1所示，设发动机喷气速度为3000 m/s，在导弹质量比一定的条件下，俯仰角对导弹最终速度具有较大的影响，不同飞行弹道其速度增量不同。

2.5 固体发动机的能量到导弹能量的转换

一般情况下，固体发动机总体会对固体推进剂提出比冲等性能要求。由于发动机在工作过程中存在各种能量耗散，所以其比冲与固体推进剂的比冲不同，也就是存在将推进剂能量向发动机的能量转换问题。在飞行状态下，同样存在从发动机能量转换为导弹的能量这样一个转换效率的问题，其主要原因在于静态与飞行态的差别。发动机地面试车时是静止状态，而飞行时是运动状态，但并不是发动机推力或者能量发生变化。

图1 速度增量与俯仰角及质量比的关系Fig.1 Relationship of speed increment and pitch angle and mass ratio

导弹的速度增量与导弹的质量特性及发动机的性能密切相关，通过对导弹推进效率的讨论可更好地说明发动机的能量如何更好地转换给导弹以及导弹视加速度模量与发动机性能的关系。按照变质量质点运动微分方程，将导弹以及排出的燃气合在一起当作质点系来考虑，在能量释放时两者相对分离，设发动机喷出的动量为mu，导弹的质量为M，根据动量定理和能量守恒原理并忽略二阶小量的情况下，发动机产生的能量推进导弹的运动，其发挥的效率为

(13)

式中Em为导弹获得的能量；E为导弹推进系统的总能量；R为导弹的质量比。

由式(13)可知，发动机能量的转化与导弹的质量密切相关，R越大，即推进剂的质量越大，能量转化给导弹的效率就越高。该分析方法是基于推进剂的能量瞬间完全释放出来以加速导弹的运动，但导弹在实际飞行过程中，推进剂能量逐渐释放。对于推进剂能量逐渐释放这种情况，发动机采用等效喷气速度uef，这样导弹的能量方程为

(14)

发动机的能量方程为

(15)

导弹的推进效率为

(16)

式(16)表示导弹的推进效率是导弹质量数和lnR的关系。由v=ueflnR可知，R=ev/uef=eλ，即推进效率也是飞行速度与发动机等效喷气速度之比的函数，速度的倍数对应质量比的对数。对于等效喷气速度为常数的发动机，导弹的速度随R的增加而增加，达到峰值后又呈下降趋势。

固体发动机作为导弹动力装置，外效率是发动机的一个特性，与导弹的推进效率相对应，发动机的外效率是在单位时间内导弹运动中所消耗发动机推力的有用功与气流动能之比，虽然发动机的推力不随导弹飞行速度变化，但其外效率则取决于导弹的运动速度。

设λ=v/uef，则发动机的外效率为

η=2λ/(1+λ2)

(17)

在λ<1时，随着λ的增大，推进的效率增加；当λ=1时，效率最大；当λ>1时，效率会逐渐下降。因此，导弹不同的质量数及飞行速度会影响推进效率。若导弹固定则相当于发动机地面试车状态，则外效率为零，因为发动机的推力不做任何功；在弹体速度等于发动机等效喷气速度时，外效率达到最大值等于1。通过计算可知，某型号发动机的外效率为0.995，其物理意义：在飞行状态下，相对于惯性系当燃气质点喷出时的绝对速度为零，则燃气的全部动能都消耗在导弹的运动上；当弹速小于或者大于流速时，则燃气质点从喷管飞出后向导弹运动的反方向或者同向运动，其绝对速度为流速与弹速之差，即还有一些燃气动能未被导弹利用而耗散掉，这两种情况下外效率都小于1，因为在弹速小于流速时其动能没有全部消耗，而弹速大于流速时推力的一部分功在导弹运动中转化为燃气质点的动能。此外，在飞行过程中，也可能存在瞬间分离部件的动能。因此，采用视加速度的分析方法，实际上是能量转化后对导弹进行的运动分析，这样的辨识方法与地面静止状态的发动机存在一定差异，在性能辨识中需考虑转化效率的修正。

2.6 视加速度合成方向与发动机推力方向存在差异

实际飞行中，加速度计的测量值包括弹的运动加速度和表观重力加速度的修正以及相关运动引起的加速度等[7]，如导弹质心处与非质心处的过载存在导弹的角速度、角加速度等有关的哥氏惯性力和牵连惯性力等差异，非质心处的惯性传感器除敏感系统的平移运动外，还敏感到由于刚体旋转运动所引起的惯性力的作用；当导弹弹道倾角变化较大时，导弹大姿态机动飞行时，导弹质心处的过载与导弹尾部的过载也具有一定的差别。因此，通过坐标转化后沿弹体坐标系下的三个方向的合成视加速度的方向可能不完全沿弹体纵轴并通过其质心，同时发动机的推力方向因喷管补偿量及飞行弹道的要求，发动机的推力与导弹弹体纵轴实际上也存在方向误差且不通过弹的质心，而且发动机燃气喷射方向与导弹运动的速度方向并不在一条直线上。因此，在实际应用时，要注意合成的视加速度方向与发动机推力方向的偏差与横移造成的影响。

2.7 飞行状态下导弹压差阻力的分配

对于真空状态下的飞行，可不考虑压差的影响。对在大气环境中飞行的导弹在采用遥测数据处理发动机的比冲或者外弹道计算时，需要考虑压差阻力中的(pe-pa)Ae部分归发动机推力项，见式(7)和式(8)所示形式。按照导弹飞行动力学方程，在超音速飞行时，阻力系数Cx包括波阻、摩擦阻力、头部阻力、底部阻力等相关阻力系数。由于(pe-pa)Ae项已归发动机推力，所以压差阻力系数不应再包含这部分的阻力系数。考虑喷流效应，导弹底部压强pb一般低于当地大气压强pa，因此其压阻为(pa-pb)(Sb-Ae)项，否则会重复计算项。目前，由于阻力难以从视加速度中进行有效剥离，所以对在大气环境条件下采用视加速度的方法辨识发动机的性能偏差较大。

2.8 其他因素的影响

一般弹道设计是将导弹作为可控的质点，对于体积较大的飞行器，地面环境条件下实测的重量与高空状态下的重量除重力加速度的影响外还存在地面大气环境条件下空气浮力的作用造成导弹重量方面的天地差别。另外，空间飞行器在高空飞行时，因存在太阳光压力，按照粒子说，光由光子组成，所以由光子组成的光正如由气体分子组成的气体一样，对物体产生光压力。显然，该因素对短时间工作的飞行器影响可忽略不计。

3 结论

(1)对影响发动机性能辨识的因素进行了分析，其主要因素包括导弹的质量变化率、能量转化效率以及视加速度与发动机推力方向一致性等因素；结合现有公开报道及相关型号的分析，这些因素造成天地比冲的差异基本在1 s左右，且在1.5 s以内，在工程上基于视加速度模型和基于发动机内弹道模型均可辨识发动机的比冲，但基于视加速度的方法辨识发动机的比冲稍微偏小。

(2)导弹质量变化对性能评估影响较大，对发动机而言，其装药秒流量可准确预示，而发动机的附加质量(包含一些发动机可能存在凝相产物沉积的情况)由于天地可能有所差异，所以会对性能评估有所影响。

(3)在飞行状态下，在弹体飞行速度与发动机等效喷气速度不同时，均会影响发动机能量到推进能量的转化效率。因此，基于采用视加速度的分析方法，实际上是能量转化后进行的导弹运动分析，在性能辨识中，需考虑转化效率的修正。

(4)导弹视加速度和发动机推力均为矢量，由于飞行弹道以及各种因素的影响，两者的方向性可能存在一定差异。