范希尔理论在几何中的应用分析

(成都理工大学 四川 成都 610059)

一、绪论

范希尔理论是重视学生的几何思维习惯的一种几何教学理论，探讨其在几何教学中的应用将有助于解决几何教学中“教”与“学”不同步难题，学生对几何的了解、学习能力将得到进一步提高。本论文在网络调查及理解相关范希尔理论研究现状的基础上，发现几何教学中范希尔的应用产生的问题，主要通过与SOLO理论相比较，对几何教学中教师教与学生学不同步的难题提出建议，以期提高学生几何思维水平。

二、范希尔理论研究现状

1959年前苏联学者最先注意到范希尔理论，美国人于10多年后才开始对范希尔理论有了进一步了解。而到1974年前苏联的几何教学就已经有了“惊人进展”，完成了几何教学的一个重大突破。学者弗赖登塔尔也提出了思维水平在数学归纳法学习中的模型，他发现几何思维水平在某种程度也可衍生出数学归纳。

上世纪八十年代，全球学者开始普遍关注范希尔理论。我国对范希尔理论的关注开始的比较晚，对范希尔理论开始进行系列研究已经是八十年代后期，目前在中学几何教学中也应用得较少，国外对范希尔理论的研究应用已经相对成熟。

三、范希尔理论

现今世界各地，数学教学依然普遍面对一个教学难题——几何教学。在当时的荷兰，中学数学教师范希尔夫妇也同样面临着这个教学难题,他们在课本中发现的问题和课后作业所要用到的几何语言、几何专业知识远超学生现有几何思维水平。因而范希尔夫妇对皮亚杰理论进行了大量研究，由此产生了五个水平的几何思维分类，于1957年在乌特勒克大学发表。

几何思维的五个水平(五水平)即为范希尔理论的核心内容，且与之相对应五个教学阶段(五阶段)[2]。通过三角形的相关分析进一步阐释几何思维的五个水平(五水平)，分别是视觉、分析、非形式化的演绎、形式的演绎、严密性。

到了20世纪八十年代,范希尔夫妇在大量的研究和实践基础上又把原有的五水平合并为三个水平,即:直观水平、描述水平、理论水平。不同层次的思维水平对应着学生在几何思维上的递进发展。按照美国学者克劳雷对范希尔理论的研究分析，我们发现范希尔几何五水平有次序性、进阶性、内稳性及外显性、语言性和不适配性几个特点。

四、范希尔理论与SOLO理论的比较

SOLO分类法定义的是人们在学习新知过程中可观察到的表现出来的思维阶段,即一种可以观察到的学习结果结构。“结构主义学说”和“皮亚杰认知发展阶段理论“”则是SOLO理论的基础,要求学生在以下两个方面做出反馈[5]。一是根据定义的五个模式描述与之相对应的思维模式类型；二是利用水平的划分对新旧模式进行定性分析。SOLO分类法把抽象程度和题目上的复杂程度分为五个结构[6]。

范希尔理论与SOLO理论都是学生几何思维评价的一种方式、一种几何教学的框架，在各级几何水平学生反馈的指标有相似之处。而SOLO水平侧重学生学习结果，而范希尔理论的目标是学生几何思维、几何能力的变化[7]。一切学科的分析都可以使用SOLO理论，但范希尔理论仅仅适用于对几何课程的分析[8]。而且SOLO体系注重学生学习层次上的层次化过渡过程，范希尔理论的着重点是对学习层次的一种教学设计变化[8]。

五、范希尔理论在几何中的应用

通过结合范希尔理论来具体分析几何五水平，探索其具备的双重意义发现：它们不仅可对学生的几何水平能力进行系列判断，还可以应用于不同几何的教学目标的设计上。因而，教师在几何教学中的教授可以是多方面的，不仅包罗几何的基础知识、定理等的了解，还可着重于生活中发现的几何的具体应用等。迄今，世界各国的数学几何课程设计都对范希尔理论进行了部分借鉴与应用，例如德、美、法、意大利等，最早应用的是苏联。主要应用于课程设计和不同版本的教材比较研究。

每个几何思维水平上的教学任务与学生活动侧重点有所不同，不同的几何思维水平阶段也有着不同的描述和分析，这些都使得范希尔理论被广泛的作为几何教学设计的一个参考理论框架。对应的水平测试完成后，教师根据具体的对几何教学单元和几何教学内容，结合范希尔理论进行新的教学设计，这样就可以对学生因“几何思维水平”施教，提高学生的几何学习能力。

六、结束语

已有的研究发现，尽管学生的几何思维水平情况、评估教材内容的几何思维水平分布等我们都可以通过范希尔理论来进行准确测量，但测试结果出来以后我们需要怎样改进教学方式，提高我们的几何教学效率？在分析学生的几何思维发展情况、评估课本内容所处的几何思维水平，范希尔理论的运用大多都是比较各版本教材的某一内容方向，我们还缺少很多系统性的了解等等问题，都需我们进行更深层次的探索。

而我国在此的研究应用现状则需我们更全面的了解范希尔理论，并将之应用于我国的几何教学课程安排、设计，课程编制等等环节。使几何教学中的“教”与“学”同步，提高学生的几何思维水平能力。