六西格玛管理DOE某案例的改进

◆俞钟行 / 文

DOE是六西格玛管理的重要方法，难度较大。本文拟对《六西格玛管理统计指南（第三版）》中做19次试验、用Minitab分析数据的全析因设计，只做8次试验、用excel分析数据，而可以得到相同的结果。

一、原例原解

改进热处理工艺提高钢板断裂强度（望大）问题。因素及水平如表1：

为考虑各因素的交互作用，决定做全析因试验，并在中心处进行3次试验，一共19次试验（即24+3）。用Minitab分析，得结果如下：

即因素A、B、D和交互作用BD是显著的。标准差S=6.30446。

二、对原例用L9（34）解

原例在中心处做试验，实际相当于4个因素、3个水平的情况。在日本和中国的实践中，对于4因素3水平的DOE，常用正交表L9（34）来完成。而且已有研究表明，在此情况下也能分析交互作用等复杂情况。本例虽然作了19次试验，由于结构不同，不能抽出相当于L9（34）的9次试验。但下面用excel来分析数据的方法，与L9（34）情况下分析时的思路和步骤是一样的，并能得到有益的启示。

表1 因素水平表

图1 Minitab分析结果

在excel电子表格上，用“数据分析”里的“回归”模块对原例19次试验数据（图2）进行分析，得出图3的结果。

虽然图3中“回归统计”的Multiple R=0.926964、“方差分析”的Significance F（其实就是p值）=7.67E-06都不错，并且4个因素中的3个P-value值也都远小于0.05，但残差的SS（平方和）/总计的SS（平方和）=540.3136/3839.161=0.140737>10%，说明所得回归方程存在“失拟”的问题。

用excel画出本例4因素3水平的“因素趋势图”如图4。这种图的画法要一字排开，因为这样最容易辩识各因素的强弱、走势和相互之间有无交互关系。因素的走势若为“V”，很可能是2次方；若为斜向上的钝角，可能是3次方。从图4看，较强的3个因素基本是直线，应是一次方。此外，两个因素的因素趋势图若呈交叉状态，则表明它们之间可能有交互作用。“遗传原则”认为：两个因素中至少有一个是显著因素，才可能有交互作用。图4中，A和B基本平行，C又是特别弱，故需要考察的交互作用基本就是AD和BD。经回归检验，AD无交互作用，BD有交互作用。具体操作步骤是在excel里插入BD项（图5），然后用excel的“回归”分析，得出结果：Multiple R=0.954971、标准误差=5.09874、Significance F=1.99 E-06、残差/总计=0.08803<10%，与图3比较已全部明显改进且已不“失拟”；考察的各因素及交互作用的显著性情况也不错。最后以所得回归方程，用excel里“规划求解”选优，无悬念地得到Y=571.1128、A=860、B=3、C=1.6、D=60（即全析因试验中最好的1次）。这里用excel分析已取得与Minitab分析类似结果。即使是真的L9（34）的9次试验数据，按上述思路和步骤作分析也是可行且能成功的。

图2 excel上原例19次试验结果

图3 excel回归分析结果

图4 用excel画原例因素趋势图

三、对原例用L8（27）求解

从原例L16（215）中可以挑出L8（27）的数据，L8（27）的数据在excel中如图6：

用excel里“数据分析”的“回归“模块分析，结果如图7：

因为这里残差/总计=130.1538/2097.079=0.062064<10%，所以不“失拟”，回归的其余指标也都挺好。如果这时以Coefficients里显示系数形成的方程为目标函数，用excel里的“规划求解”选优，得到的最优值= 569.7125，相应因素组合为：A=860、B=3、C=1.4和D=60。为何没有挑出实际已经存在的最优组合——图6的最后一行？把“因素趋势图“画出来（图8）可得到启发：

图5 excel上原例已插上BD项的试验结果（省略显示）

图8 的L8（27）因素趋势图与图4的L9（34）是相似的。按L9（34）时的做法，插入BD项后再回归，得Multiple R= 0.989846、标准误差= 4.602852、Significance F=0.049751、残差/总计=42.3725/2097.079= 0.020205，比插项前有明显改进。因此承认BD交互作用是合理的。而且此时用excel里的“规划求解”选优，得到的最优值=571.55，相应因素组合为：A=860、B=3、C=1.6和D=60，等同于图6的最优组合，也等同于图2的最优组合。另外从图8看，因素A最强，因素C虽最弱，但C与A的交叉关系颇显著，因此尝试对图6插入AC项，并作回归分析。有意思的是：回归结果的第1、第2张表完全等同于插入BD项。这可以L8（27）表头设计的“混杂”现象来说明：

图6 excel上原例挑出的L8（27）数据

图7 L8（27）excel回归分析结果

图8 L8（27）的因素趋势图

本例的L8（27）的A、B、C、D四个因素，就是如表2所示放在1、2、4、7列上的。在此情况下，交互作用AC和BD都出现在第5列，因此是混杂的。若说此例的因素趋势图不容易看出B和D有交互作用，但A和C有交互作用是容易看出的。这说明：因素趋势图确实能透露出一些交互作用的信息的。

表2 L8（27）表头设计

也尝试在插入AC后删去因素A，使总的项数保持4项不变，并作回归分析，其结果没有纯粹加AC好。

四、用Ru来评估回归方程的优劣

表3 五种情况下Ru等回归方程拟合优度指标的统计

注意到在回归分析时，如增加项，一般相关系数都会变得更好一些，有时这并不代表拟合得更好。为了明白回归方程的拟合是否真的变好，可以参考上田一太郎等著《用Excel学数据挖掘》，根据下面公式作判断：

Ru=1-（1-R）（n+k+1）/(n-k-1)

式中，R：多重相关系数；n:数据个数；k:EXCEL回归分析的“回归自由度”。

最优者是当Ru是正数且数值最大时的回归方程。

如回归方程情况为L8（27）加插1项时，Ru=1-(1-0.989846)(8+5+1)/(8-5-1)= 0.928922。

表3是上述5种情况下Ru的计算结果，及表征回归方程拟合优度的其它重要指标的统计。显然，只作8次试验、回归时根据因素趋势图加插交互作用BD（或AC）的拟合最好，在全部5个指标中有4个是最优的。

小结：六西格玛管理DOE可以改进得更精益。如本例①4因素2水平加测中心点的全析因试验，用excel结合因素趋势图能像Minitab一样很好地分析数据；②4因素2水平必须加测中心点时可用L9(34)，以excel结合因素趋势图作回归分析，以规划求解选优；③4因素2水平非必须加测中心点时可用L8(27)，以excel结合因素趋势图作回归分析，以规划求解选优。

参考文献（略）