带悬臂端简支受压柱的临界荷载理论公式推导及稳定性能分析

2019-03-22徐以艳杨榕湖北交通职业技术学院公路与轨道学院湖北武汉430079

安徽建筑 2019年1期

徐以艳，杨榕（湖北交通职业技术学院公路与轨道学院，湖北武汉 430079）

0 前言

受压杆件的稳定性是决定其承载力的一个特别重要的因素，细长受压柱的屈曲失稳问题也是结构设计中的突出问题。工程中使用的细长受压柱非常多，特别是在钢结构中，这些杆件使用过程中都面临稳定问题，一旦出现受压失稳现象，导致结构破坏，甚至整体坍塌，将会造成严重的经济损失和人员伤亡。

受压柱的稳定性在建设工程设计中受到高度重视，现在其理论研究及工程应用都越来越成熟。但随着建设工程的蓬勃发展，受压柱的特殊受力状态在工程中也屡见不鲜，带悬臂端的受压柱就是一个典型案例。如建筑塔吊在中间与结构连接支撑时，塔吊柱就是上端悬臂的受压柱，如图1。

目前尚无学者对带悬臂端受压柱进行详细的稳定理论分析，本文对带悬臂端的简支受压柱进行平衡方程的理论公式推导，用Matlab求解超越方程，再与算例作对比后，通过最小二乘法拟合出带悬臂端受压柱临界荷载的简易公式。

图1 工程中连墙塔吊即为带悬臂端受压柱

1 理论公式推导与求解

1.1 理论公式推导

图2所示为一等截面带悬臂端简支受压杆，下端铰接，中部有一水平支杆，现采用静力法求其临界荷载。

设铰接端与水平支杆间的压杆长度为l，压杆总长为nl，则上端悬臂长度为（n-1）l。压杆受到的竖向力为p，简支端受到水平力为Hc，铰接端与简支端的压杆位移为y1，悬臂部分压杆位移为y2，悬臂顶端b处水平位移为δ。因ac、bc两段杆的受力不同，故需要分别列出平衡微分方程。

图2 变形前、后带悬臂端受压杆平衡状态示意图

ac段：

其通解分别为：

引入边界条件，则有

a点：

c点：

将（7）代入式（5），将（8）代入式（6）得

引入边界条件，则有

c点：

b点：

将（5）、（6）微分，代入边界条件得

由式（9）得

将式（16）代入式（13），则可得到以 A2、B2和 δ为未知量联立方程组

方程（17）要有非零解,则系数行列式值为零，可得稳定方程：

1.2 MATLAB求理论解

为研究不同悬臂长度对临界荷载的影响，现改变长度系数n。当n取不同的值时，由MATLAB采用二分法迭代求出αl，然后求出Pcr，继而可以求出Pcr/Pcr’，其计算结果见表1。临界荷载比值变化曲线见图3。

超越方程解和临界荷载比值汇总表表1

图3 随悬臂长度变化，临界荷载比值变化曲线

从表1计算结果及图3曲线可以看出，随着n值的变大，悬臂长度的增加，带悬臂端简支受压杆失稳临界荷载急剧降低，当n=1.3时，临界荷载减小约一半；当n大于1.3时，临界荷载减小速率放缓，但临界荷载值已很小；当n=2.2时，临界荷载约减小为两端简支柱的1/10。

2 有限元Ansys实例分析并与解析法理论解对比

Ansys是当前使用广泛，功能强大，集结构、热、流体、电磁场、声场和耦合场分析于一体的大型通用有限元分析软件，通过它可以对结构在各种外荷载条件下的受力、变形、稳定性及各种动力特性进行全面分析。为了更深入分析带悬臂端受压柱悬臂长度对失稳临界荷载的影响，本文用Ansys软件对带悬臂端受压混凝土柱建立实体模型，求出不同悬臂长度下混凝土柱的屈曲临界荷载。

在建立有限元模型时，带悬臂端受压混凝土柱材料特性如下：弹性模量E=1.0×104N/mm2；泊松比u=0.3；几何特性为：铰接端与水平支杆间的柱子长度，柱子的长和宽均为0.2m。悬臂部分长度分别为0 m、0.1m、0.2m、0.4m、0.6m、0.8m、1.0m、1.2m、1.4m、1.6m、1.8m、2.0m、2.2m、2.4m、2.6m、2.8m、3.0m，与上一节求理论解中的相对应。

经计算，求出所有有限元模型的屈曲临界荷载。当n=1时，Pcr’=3.208×103kN，其余情况临界荷载及比Pcr/Pcr’值见表 2。