分数阶时滞CPG与运动中枢的耦合数学模型研究

岳 超 陆 强

(山东第一医科大学医学信息工程学院，山东 泰安 271016)

近年来，分数阶微积分的应用已成为热门研究课题，分数微积分是整数微积分的推广，分数阶微分算子具有记忆和遗传特性，在应用方面比整数微积分更适合描述现实生活中的基本现象。时滞现象存在于生物、化学、工程、物理、医药等领域，时滞分数阶系统的研究已取得了一些成果[1-7]。为了研究分数阶时滞CPG和运动中枢耦合关系及其对运动的控制作用，我们用神经群模拟运动中枢的动态特性，构造一个分数阶时滞CPG与运动中枢耦合关系的数学模型。利用分岔理论和最大李雅普诺夫指数分析模型的动态特性，讨论神经群参数和分数阶时滞CPG模型参数改变时对耦合模型的影响，探讨运动中枢调控CPG的作用。

1 对象与方法

1.1 研究对象

分数阶时滞CPG与运动中枢耦合关系的数学模型。

1.2 方法

1.2.1离散分数阶微积分

为便于研究分数阶时滞CPG和运动中枢的耦合关系，将离散分数阶微积分的定义及结果列举如下：

定义1[8]对于给定的u：a→和 0<ν，ν阶和分定义为

(1)

其中a为始点,σ(s)=s+1和t(v)定义为

(2)

定义2[9]若0

(3)

其中ta+m-v，m=[v]+1

定理1[10]delta分数阶差分方程

(4)

等价于积分方程

×f(s+v-1，u(s+v-1))，

t∈a+m，

(5)

其中初始互动u0(t)为

(6)

1.2.2建立分数阶时滞CPG和NMM的耦合模型

根据CPG的状态方程[11-12]和神经群的状态方程[13]，当神经群的输出x2-x3作为CPG的输入，同时CPG的输出max(0,x7)-max(0,x8)加延时作为神经群的输入，得到新模型的状态方程，如公式(7)所示。其中，ad=a/k表示比局部神经元兴奋脉冲响应延时k倍。Jansen等[13]设置这些参数用来模拟前脑和视觉皮层的联系，连接常数k1和k2，在反馈前减弱了一个区域的输出，这两个参数的值都设置为1。

1.2.3耦合模型的动态特性

为了研究耦合模型动态特性，这里研究其分岔特性。初始值设为0.04，14.11，11.01，-0.46，-216.07，-189.02，-10.54，0.45，0.25，0.67，0.01，0.05，0.15，0.24][14]，用四阶Runge-Kutta方法来解析系统(7)，得到分岔图如图1所示，其中参数p在区间[-50,400]间隔0.5变化。

由图1可以看到主回路在p=113时分岔，形成两个回路。当p=137两个回路又重新合并在一起。当p>371，系统逐渐稳定。

1.2.4耦合模型的参数影响分析

当参数p变换时，神经群的模式也同时进行改变[14]。当参数p在四个区间[0, 113], (113, 137], (137, 371]和(371, 569]内取值时分别对应四种模式。下面以p=60时神经群和CPG耦合模型的对应关系为例给出图2 。

讨论随着参数k 的改变，对CPG和神经群的影响。最大李雅普诺夫指数用来描述神经群的混沌状态。设定参数p=60,起始出现神经群的第四种模式，CPG输出为常量，如图3所示，此时k=32。当k>35，第三种和第四种模式共存。随着参数k的增大， 第二种、三种和四种模式同时存在。当k>49，四种模式共存。

(7)

图1 分岔图

图2 模型输出和相图

图3 模型输出和相图(p=60 , k=32)

经研究可知：当参数d,e和w发生改变，神经群的模式和CPG的相图发生改变。参数d表示自抑制的强度值，随着参数d增加，神经群从混沌状态变为稳定状态，CPG相图变为极限环。当参数d增大，因为抑制效果，CPG相图收敛到零平面。参数w表示CPG间的抑制作用，当参数w在一个合适的区间时，CPG输出为周期振荡，神经群状态是稳定模式。然而，当参数值增大，神经群状态变为混沌状态。参数e表示外部兴奋输入，其影响CPG输出的幅值。下面仅给出p =115，d=0时的模型输出和相图4。

图4 参数d改变对应的模型输出和相图 (d=0, p=115)

2 结果与讨论

新模型的动态特性说明神经群和CPG的状态可以通过调节这些参数来实现调整，并且它们具有对应关系。因此大脑可以通过这些参数控制运动模式。当神经群看做大脑皮层，CPG看做运动模式。稳定的运动模式可以通过神经中枢系统、运动本体和环境的相互作用来实现。参数的不同值导致CPG状态的变换,当取合适的数值时，CPG是极限环状态。同时，神经群的状态是稳定模式，与CPG的状态相互对应。许多CPG假设嵌入肢体，由参数空间组成，其与大脑皮层相互对应。人类的这种特性可以减轻大脑的负荷，简化运动控制。本研究对运动神经学和运动控制学有一定帮助。