基于菲涅尔透镜的改进型纹影成像系统

黄钰堃 马启涵 张国锋

(北京航空航天大学，1航空科学与工程学院； 2物理科学与核能工程学院，北京 100191)

纹影法作为一种流动显示方法，可将透明气体介质内部的密度变化可视化，因而常用于对边界层、气体燃烧等流动现象的观测[1]。纹影系统的性能主要用灵敏度来衡量，即系统对被观测气体密度(或折射率)微小改变的响应能力[2]。

在平行光纹影系统中，透射式纹影系统成像质量好，但由于其所需大口径的双球面透镜加工十分困难，故常采用反射式纹影系统来代替[1]。然而，反射式纹影系统所需的大口径精密凹面镜价格也十分昂贵，一般的小型实验室难以负担。菲涅尔透镜常用于投影、聚光场合。由于其结构特性，菲涅尔透镜加工简单，制造成本低，且容易制作成大直径透镜[3]。虽然其精度较传统透镜稍低，但是使用菲涅尔透镜作为纹影透镜搭建纹影设备应该可以满足小型实验室较低成本的观测需求。经调研发现，目前尚未有相关文献对菲涅尔透镜的替代可行性进行研究。

基于此，本文根据纹影法相关理论，尝试采用大直径(360mm)菲涅尔透镜搭建透射式纹影法光路，通过实验研究采用菲涅尔透镜代替传统透镜搭建纹影系统的可行性，并计算实验中纹影系统的灵敏度。最后针对菲涅尔透镜的一些成像问题，讨论相应的图像后处理方案。

1 纹影法成像原理分析

1.1 光线的偏折

图1 波阵面面元的偏折

设光线从空气正入射，其波阵面经不均匀介质后发生偏转。进一步，考虑长度为Δy的波阵面微元，经微小时间Δt后整体偏转一小角度Δα0。设面元两端y1，y2处介质折射率为n1，n2，其差值Δn为一小量。微元中间任取一点z1，可直接设该处介质折射率为n。n的连续变化导致光线实际偏折路径为曲线，但偏折角Δα0为小量，因此偏折的光线可近似为直线处理，在计算时也可视为水平。可得

(1)

(2)

(3)

设不均匀介质在z方向长度为L，对上式积分可得到光线通过整个介质区域的总偏折角为

(4)

假设扰动区与空气被平板薄玻璃隔开，光线从不均匀介质进入空气后，将再次发生折射。设空气折射率为1，光线折射角为α，若L不太大，则α0与α均为有限值，近似满足小角度条件，由折射定律可得

α=nα0

(5)

将式(4)代入式(5)，由于n不沿z方向变化，故可直接代入积分号，可得

(6)

上式揭示了光线离开不均匀介质后其出射角与介质折射率梯度间的关系。

1.2 成像系统的反差和灵敏度

典型的透射式纹影法光路如图2所示[5]。

图2 透射式纹影光路

当使用点光源作为系统光源时，凸透镜L1将点光源转为平行光。在两透镜间，介质受到扰动变得不再均匀，从而使得部分光线发生偏折。在凸透镜L2的焦平面处放置刀口，由于刀口的遮挡作用，部分偏折的光线将不能到达屏幕，因此屏上可以观察到明暗图像。

如果用扩展光源代替点光源，如图3所示，可以将扩展光源视为一系列的点光源[6]。这样，在凸透镜L2的焦平面处将成一个扩展光源的倒像。此时若用刀口在焦平面上遮挡部分的像，可观测到屏幕均匀地变暗。取受扰动的某点为研究对象，由于扩展光源上所有点光源都有光线射向该扰动点，因此来自扩展光源的一系列光线均受到了偏折。这些光线在凸透镜L2后会在刀口处成像，且由于偏折，像的位置发生了偏移。最终在凸透镜L3的作用下，该系列光线在观察屏上对应的位置成像。

图3 用扩展光源成像

图4 刀口处的扩展光源像(视图沿光线传播方向)

在刀口处，受扰动光线的偏移使得它与未受扰动的背景光线区分开，因此刀口对扰动光线和背景光线强度的削弱是不同的。在成像透镜的作用下，屏上就呈现出了扰动的像。纹影图像同时展现了扰动的形状和强度。参看图4，设刀口处受扰动前扩展光源像的几何尺寸是a0×b0(a0与b0分别为宽度和长度，一维时仅有a0)，其中刀口法线方向未被刀口遮挡部分像长度是ak。设光线受扰动后向上偏转，使得受扰动后扩展光源的像相比原像高出了Δa[5,7]。特别地，我们对刀口外法线方向做一规定：对图4所示情况，刀口横置，且遮挡像的下半部分，则其外法线方向为y正方向，类似可推得其他情况。

设光线经扰动区后的出射角α满足小角度假设，由相关文献[5]可得

Δa=±αf2

(7)

式中f2为透镜L2的焦距，正负号表明了刀口的放置位置，其中正号表示刀口外法线指向y的正方向。设未受扰动前观察屏上某位置光强为Ik，光线偏折后该位置光强为Ia，则根据图4可得

(8)

光强的相对变化称为反差，用RC表示[5,7]，满足

(9)

仍然考虑前一节所述的一维情况。进而将式(6)代入式(9)可得

(10)

为建立扰动区介质折射率n与对应密度ρ间的关系，引入描述流体密度和折射率间关系的Gladstone-Dale公式[5-7]：

(11)

(12)

将上式代入式(10)，可得

(13)

可见，纹影照片上的明暗反映了密度在刀口法线上的分布，变亮表示沿刀口法线方向密度增大，变暗表示沿刀口法线方向密度减小。特别地，纹影系统灵敏度反映了系统对被观测气体密度(或折射率)微小改变的响应能力，根据参考文献[5,7]定义如下

(14)

2 装置的搭建

在对纹影法原理进行分析后，开始着手搭建基于菲涅尔透镜的透射式纹影系统。菲涅尔透镜保留了传统透镜光学表面的弯曲度，而将连续表面部分“坍陷”到一个平面上形成一系列锯齿形凹槽，每个凹槽都将光线汇于一处形成透镜焦点(参看图5)。因此，菲涅尔透镜相比传统透镜在大量减少光学材料使用的同时兼具了良好的聚光特性，用其替代原纹影系统中的玻璃透镜将使得成本大大降低[3]。

图5 菲涅尔透镜(a)和传统透镜(b)

由于较大的透镜对空间尺度较大的现象有更好的观测效果，为了保证其灵敏度，纹影透镜的焦距应尽量的大。又考虑到实验室的空间大小，因此采用了两片直径360mm、焦距900mm的菲涅尔透镜作为纹影透镜。

参考相关文献[2]、[8]，设计实验光路如图6所示：

图6 本实验搭建的光路图

实验中使用汞灯作为光源，经凸透镜汇聚到狭缝后形成上文所述的扩展光源。两片菲涅尔透镜之间为扰动区，刀口位于第二个菲涅尔透镜的焦平面处。在刀口后方，光线经过凸透镜最终汇聚到CCD上形成纹影图像。实验使用的部分装置如图7所示。注意图示位置刀口竖置，其法线为水平方向。

图7 部分实验装置(a) 菲涅尔透镜； (b) 刀口，凸透镜和CCD

3 装置可行性验证

扰动区分别用打火机与酒精灯作为扰动源，使用计算机记录CCD得到的图像准备后处理。观察打火机丁烷气体喷出稳定的过程，如图8所示。

图8 逐渐稳定的丁烷气流

喷出的丁烷气体与周围空气分界明显，说明搭建的装置可以对密度不同的气体加以区分。更换CCD前的聚焦透镜，可以改变视场的大小。增大视场后，便于对酒精灯造成的热气流进行成像，如图9所示。

图9 CCD观察到的点燃的酒精灯(a) 安静无扰动地燃烧； (b) 受到轻微的空气扰动

该热气流的主要成分仍为空气，因此G-D常数可视为不变。从纹影图像中可清晰观察到，热气流处的亮度明显低于周围空气，与前述理论相符合。

为进一步说明装置可行性，还需验证刀口的作用。保持刀口方向竖直，并缓慢沿着刀口法线方向，即水平方向移动刀口，使刀口渐渐遮挡住更多部分，可以观察到整个屏幕内的光强均匀地变弱，如图10所示。

图10 刀口沿法线方向平移

改变刀口法线方向，使得刀口分别遮挡住上部区域(图11(a))，遮挡住下部区域(图11(b))，遮挡住左部区域(图11(c))。

图11 不同的刀口方向(a) 刀口在上； (b) 刀口在下； (c) 刀口在左

对于前两种情况，刀口的法线在竖直方向，热气流在水平方向上没有明显的分界；对第三种情况，刀口的法线在水平方向，可观察到热气流在水平方向分界明显，且扰动区从左到右亮度先减小后增大。此现象与上文式(13)结论相对应,即纹影照片中的明暗表征密度沿法线方向的分布，变亮表示密度增大，变暗表示密度减小。

上述的一系列实验表明实验现象与理论规律吻合，使用菲涅尔透镜搭建的纹影光路可以用于对变密度气体的观察。

4 灵敏度计算与图像后处理

从前述实验现象不难看出，菲涅尔透镜搭建的纹影系统相比传统系统具有更大的视场，且可以清晰地反映出扰动区的密度梯度，但是其缺点也很明显：视场内存在明暗不一的背景光。这是由于菲涅尔透镜常用亚克力等材料制作，透镜的刚度很低，容易发生微小的形变，从而使得光线发生了非预期的偏折。为了提高观测精度，使纹影系统真正具有使用价值，可利用图像处理技术对明暗不均匀的背景图像进行处理，以还原目标图像真实信息。

由于用CCD采集的纹影图像为黑白图像，因此在这里我们以图像灰度值作为亮度的度量进行后处理。具体方法如下：首先获取无扰动时的CCD图像，作为背景图像，如图12(a)所示；再获取有扰动时的CCD图像，作为目标图像。由于实验过程中火焰扰动现象最为明显，因此此处以火焰扰动为例进行说明，如图12(b)所示；进一步，调用计算机相关软件包(本文以Matlab为例)处理图像，为了避免目标图像较背景图像暗的区域与背景混叠，分别逐点提取目标图像和背景图像的灰度值，构成灰度矩阵Gt和Gb，两者相减，得到结果图像的灰度矩阵Gs=Gt-Gb，并根据Gs绘制最终结果图像，如图12(c)所示。

图12 图像处理过程(a) 背景图像； (b) 待观测图像； (c) 最终结果图像

图13 酒精灯火焰扰动气流图像的灰度峰图

去除了背景干扰的图片为定量试验提供了可能性，进而可获取受扰动气体相对背景的灰度偏差作为亮度的定量表示。仍以酒精灯的扰动气流图像为例进行说明，将上述去除了背景的图像导入Matlab后，将每个像素点的灰度值作为纵坐标值，像素点的平面位置作为x，y坐标值，可以得到三维的灰度分布图像，如图13所示。正视该三维图，可得到图上灰度沿着横向或者纵向的分布峰值，进而可读出灰度最大值与最小值偏离背景常数的多少。将两个偏离的绝对值取较大值，就是该图像的最大灰度偏差。该值可以反映人眼辨识图像中扰动气体的难易程度，最大灰度偏差越大，人眼越容易辨识图像中的扰动气体[9]。

使用上述图片后处理方法，可以定量测量出任一特定位置的图像灰度值，根据实际需求获取所需的扰动区气体空间形状、密度梯度等信息。

5 结语

经实验发现，使用菲涅尔透镜作为纹影透镜可以满足精度要求不高情况下的观测需求，虽然其制造误差、实验光路误差造成视野内光线亮度并不均匀，但是结合相关软件的图像处理技术可以将背景滤去，只留下由扰动形成的像，方法具有一般性。且由于菲涅尔透镜直径大，改进后纹影系统对于较大空间尺度的气体观测有一定的优势，为小型实验室的流动观测实验提供了一种低成本的解决方案。该系统同时具有搭建简单、易于携带的优势，可用于教师进行实验教学及学生进行创新实验研究。