基于深入解析“错例”下的数学作业设计

徐晗

摘 要：“图形与几何”是小学数学学习领域不可缺少的重要组成部分。聚焦作业，发现小学高段学生在“图形与几何”领域存在着一些共性问题。分析原因，根据不同类型的作业提出了有针对性的习题设计策略，从而发展学生的空间，想象力和空间思维能力，提升习题设计的有效性。

关键词：图形与几何；习题设计；空间观念

一、现象与归因

“图形与几何”是数学四个学习领域之一，其核心是要发展学生空间观念，内容较抽象，仅依靠课堂教学是不够的。学生要通过观察、操作、想像、交流、推理等一系列活动，化抽象为具体。二年来，通过对错题的分析发现学生的错误主要是有两个层面。

（一）知识能力层面

1.概念不清

在将直观物体抽象成立体图形的过程中，我们常忽视概念本质的构建，导致部分学生概念不清，没有真正建立起正方体的概念，只凭借巳有经验，考虑二维平面上4个小正方形可拼成一个较大的正方形，忽视了立体图形属于三维空间。

2.理解不深

在求圆环面积时，公式记忆混乱，误认为是圆周率乘外圆半径与内圆半径的差的平方，或认为两个数的平方差和差的平方的结果是一样的。

3.转化困难

由长方形纸转化到长方体，在转化过程中，学生不能将平面图形中的条件与长方体的长宽高很好地对应起来，所以较多的同学做错了。

（二）学习习惯层面的

1.思维不严谨

部分学生做这题是蒙的。认为题中缺少高，面积无法判断，也有学生认为如果7厘米和5厘米分别是它的底和高。这些学生在思考时忽视了在拉动平行四边形的过程中，平行四边形的一条边不变，当另一条与它垂直时，另一条边就成了它的高，此时它的面积是最大的。

2.画错草

学生画错草图，把内圆半径当作了外圆半径。一个好的草图是可以帮助理解题意，找出解题关键的。

3.忽视隐含条件

根据长方体平面展开图求长方体体积，转换中，孩子不清楚长方体的长、宽、高分别对应着平面图中哪些线段。

4.忽略实际情况

在思维定式影响下学生用以前的经验：盒子容积除以小正方体体积求出个数。而实际由于长方体长和宽都不是2的整数倍，所以无法放到边。

5.审题不清

学生没有仔细审题，题目中要求过点A做直线m的垂线，过点A做直线n的平行线。而学生都做了过点A做直线m、n的垂线。

那么我们如何从学生的作业练习中发展学生空间想象力、训练学生思维能力？我们通过研究，尝试改变作业形式，提高学生能力。

二、“图形与几何”作业有效设计架构

“图形与几何”习题设计要求从注重人的未来发展、个性发展和全面发展角度去考虑，让学生通过自己的亲身体验感悟，在模拟知识被发现的过程中去探索、去创造，使作业成为学生开发潜能、体现个性和培养能力的场所，要把握以下要领：

三、“图形与几何”作业的有效设计

（一）巩固型作业

常在课堂上教过某种技能和程序后进行。单纯模仿和重复练习的题目较多，这种类型的作业一般情况下较乏味，因而教师在设计过程中应多注意练习的灵活性及多样性，尽可能根据学生的不同请况设计练习。

1.层层递进，形成序列

数学学习过程是一个循序渐进的过程，如果一开始就做难度较大的题目，有的孩子就会产生畏难情绪。我们根据知识点设计序列题目，有利于孩子更好地理解知识点，建立学习的信心。

组成等腰三角形条件“两边之和大于第三边，且两条边是相等的”。据此分析表格中各组的小棒：第一组有两条边相等，但不满足两边之和大于第三边；第四组不满足有两条边相等的条件。

2.变化要素，突出本质

有的知识点学生看似掌握，但一遇到变化就不会解决，我们需要改变关键要素，便于学生深入掌握知识，凸显知识本质。如，四年级画垂线，可以设计以下練习：

（1）过直线上一点画已知直线的垂线。

（2）过直线外一点画已知直线的垂线。

（3）过直线外一点画已知直线的垂线（点在直线的延长线上）。

（4）过已知点B作角两边的垂线（第（1）题的点B在角内，第（2）题的点B在角两边的延长线内）。

思考：通过分析明白这个练习的差别在哪里？特别是第（3）题，这个点在直线的延长线上，只需将直线延长即可；而第（4）题就是通过一点分别画两条直线的垂线；第（1）（2）题的差别也只是点的位置不同而已。学生通过这些姐妹题，明白了画垂线的关键在于通过哪个点画哪条直线的垂线，牢牢抓住画垂线的要领即可。

3.分层设计，拓宽范围

对于同一知识点，我们可以设计不同层次的题目，每个孩子可以根据自身的情况，选择合适的题目，体现数学分层学习的需要，使每个人在不同层次上有不同的发展。

思考：这三道题都是正方形与内接或外切圆的位置关系，求组合图形的面积。三道题由易到难层层深入，学生可以通过对前面题目的解决有所领悟，从而得到启发，融会贯通，解决后面的题目。

4.相互关联，聚焦思想

图形与几何的学习体现了一些核心的数学思想，我们可以围绕一个数学思想编写一系列的题目，帮助学生深刻地理解它。

思考：这5个图形的空白部分面积看起来完全不一样，但是学生经过求证以后发现，空白部分的面积都是等于13.76平方厘米。这就引起学生的思考，空白部分的面积为什么会一样，其中蕴含着怎样的数学奥秘呢？

（二）探究型作业

1.利用画图，解决问题

画图是问题解决中常用的一种思考策略，是培养思维能力的有效途径。心理学研究表明，小学生的思维处于以具体形象思维为主逐渐向抽象思维的过渡期。画图可以直观地把条件和问题呈现出来，有利于发展学生的空间想象力，培养学生的思维能力。如：“圆柱圆锥”的练习课中，我设计了这样的练习。

一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形。分别以长和宽为轴旋转一周，分别得到了一個什么立体图形，这个立体图形的侧面积、表面积、体积分别是多少？

思考：通过画草图，学生直观看到以长方形的哪条边旋转，旋转的边就是圆柱体的高，另一边为圆柱的底面半径，把抽象的平面图形转化为较为具体的立体图形，有效地发展了学生的空间观念，培养学生的思维力。

在“圆锥的体积”的练习课中，我设计了以下题目：

一个直角三角形的两条直角边分别为4厘米和3厘米。分别以这个三角形的两条直角边为轴旋转一周，分别得到了一个什么立体图形，这个立体图形的体积分别是多少？

2.重视观察，解决问题

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体，想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动变化，依据语言的描述画出图形等。我们在题目的设计上要有效体现这一点。

下图中，不能由图（1）经过一次平移或旋转得到的是（ ）。

思考：图形的平移与旋转不会改变图形的形状和各部分相对位置。

3.有效推理，解决问题

推理能力是数学学习需要培养的核心要素之一，我们设计这类题目，让孩子在观察、想象、推理中提升孩子的数学能力。

思考：要求每颗玻璃球的体积范围，可以先求出4颗玻璃球的体积最多是多少以及5颗玻璃球的体积最少是多少。因为杯子里上升部分水的体积就是杯子里放入的玻璃球的体积，根据题意可得4颗玻璃球的最多体积和5颗玻璃球的最少体积应是500-300=200（cm3），进而推测出每颗玻璃球体积的取值范围。

（三）验证型作业

猜想与验证是数学学习的有效手段。通过验证，既再现了数学结论的形成过程，又让学生感受到数学知识的严谨。

例如：假如给你一根16厘米长的绳子，围成不同的长方形（边长为整厘米数），哪一种围法面积最大。

在通过操作得出“长方形的周长一定，长与宽越接近，长方形的面积越大”后，有的学生推测，“面积一定，长与宽越接近周长越短”；还有的学生推测：“棱长总和一定，长宽高越接近，体积越大”。我就让孩子进行了验证活动。

思考：因为课堂上有了对周长一定，长与宽越接近面积越大这一推导过程，很多学生在正迁移的作用下，学会了自己推导。学生对于自己的推导特别感兴趣。

（四）操作型作业

新课标指出：有效的数学学习活动，不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要形式。心理学研究表明：小学生的认识规律由操作把握到图象到符号把握，即先有感知到表象再到抽象的过程，操作活动是学生认知的基础。

例如，在初步认识长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等平面图形的基础上，可以利用学具袋中的七巧板按要求摆一摆：如分别利用2块、3块、4块……七巧板摆出梯形、平行四边形，并在微信群中展示。这些活动既让孩子感受到了数学的神奇，激发了孩子的好胜心，同时也让空间观念在孩子的心里生根发芽。

四、成效与反思

在通过有效习题的练习后，学生学会了用几何直观把复杂问题转化成简单问题，不急于给出答案，在观察、操作、想象、分析等活动中不仅强化了学生对基本概念、物体的几何特征、计算公式的理解和灵活运用，也培养了学生的空间观念、空间想象能力和推理能力，同时也提高了学生的学习水平。为此我们特意对实验班在五年级下学期和六年级下学期进行了“图形与几何”的两次专项测试，并对结果进行了前后对比。

从检测结果看，实验班的平均分和标准差都有明显进步。这说明在实验班实施有效的作业布置后，“图形与几何”方面学生的数学成绩有明显提高。

编辑 鲁翠红