一题多变在初中几何教学中的应用

摘 要：一题多变即变式练习，指有计划地对命题进行合理的转换，以突出对象本质属性的教学方法，其凭借对学生思维的灵活锻炼和促进学生在习题解决实践中掌握重点理论知识的作用而在数学有效教学方法中占据一席之地。平面几何是初中数学课程内容的重要构成部分，亦是学生进入更深入立体几何模块的开始和培养其空间想象能力的前奏。而一题多变则依靠其适应平面几何由可变性的条件、结论、图示构成的优点而成为一种针对此模块有效的教学方法。

关键词：一题多变；几何教学；应用

一题多变必得有可变的因素，在总的对构成平面几何题目的条件、结论、图示三要素进行变动的背景下，教师可将此变式方式以对象本质考察为中心，按照学生理解力的递进规律、触及知识范围的扩展和逐层递进式的揭示的标准分为由浅到深、由窄到宽、由表到里的变式训练。

一、 由浅到深——依据解法关卡量的增加变式

由浅到深是人类思维的基本规律，亦适用于学生对某一知识的逐级内化过程。对于刚刚接触几何理论的初中学生而言，对应几何规律进行简单直接的两三步证明是其应具有的接受初态。但随着学习的深入和几何图示的渐趋复杂和题目所给条件的逐渐减少，其对学生看图、辨图、识图和思辨能力的要求则不断提高，得出正确解法所需要的难点关卡量和证明步骤则相应增多。所以，教师应依照此积极对学生进行变式训练，以促进学生对几何知识的深度理解与整合能力的提高，并为其之后接受立体几何及更高层次几何学知识奠定坚实的基础。

例如：在“全等三角形”的变式训练中，我便按照解法得出关卡量渐增的规则对原始题目中的条件或所需证明的结论进行改变，以增加学生思维的深度和提高其灵活看待问题的意识能力。我设计的原始题目为：如图1，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC。求证：DE=AC。

在这里，学生只需对全等三角形SAS的判定定理和“全等三角形对应边相等”的性质定理进行直接运用，便可轻松求证，这是对学生全等知识的第一步、最简单的考查。在此之后，我将其变式为：如图1，AB⊥DC于B，且BD=BA，BE=BC。求证：DE⊥AC。

在这里，题目中的原始条件并未发生改变，但所要求证明结论的得出，需要在原始题目解题步骤基础上增加证明DE⊥AC的步骤，即在完成△ABC≌△BDE的论证过程后，延长DE交AC于点F，证明在△AEF中，∠A+∠AEF=90°，利用全等三角形对应角∠A和∠D相等，及作为对顶角的∠BED和∠AEF相等，得出∠DBE=∠AFE=90°即可。这是对原始题目的延伸变式，此能够通过学生在证明三角形全等之后进行的关乎对顶角性质和三角形内角和的思考促进其思维深度的提升。在此之后，我对此题进行了第三种更深层次的变式：如图2，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BE⊥AC，FD=CD，求证BF=AC。

在这里，本意还是让学生求证△ABC≌△BDE，但是与上面第一道变式比较而言，它增加了图形复杂度，改变了条件，使得两个三角形全等结论的得出所需要通过的关卡量也相应增加。具体难点在于：需要让学生脱离通过原始题目和变式一训练形成的定势思维，根据条件反向逆推全等成立的条件：AAS，将证明关键定位在说明∠CAD=∠FBD上，然后利用三角形内角和定理求得。这样的层级变式对学生灵活利用全等判定和性质定理、思维能力及识辨图形能力的提升具有重要的作用。

二、 由窄到宽——依据知识触及面的扩展变式

学生真正数学能力提升的标准在于在实际数学问题中能否实现对数学知识的综合型运用，即能否根据题目解答要求调取相关知识记忆，并将其正确合理地运用于问题解决中。所以，按照知识触及面由窄到宽变化的规则进行的数学问题变式是促进学生综合运用知识，以升华内化数学的系统性和逻辑性思想。

例如：在学习完《相似三角形的性质》一节后，可以按照由依据判定、性质定理直接对三角形相似进行证明，到渐次扩展至与其相关的中考真题，因为中考题皆出于对学生知识综合运用能力的考查，其触及的知识范围相对于单纯的以相似三角形为主的题目而言也会相应扩大。我给同学们出的原始题目为：如图3，已知AD⊥BC于点D，∠CAD=∠FBD，求证△BFD相似于△ACD。

在这里学生只需要利用题中已知条件和“两角对应相等，两个三角形相似”的判定定理直接证明即可。在对此进行较难变式题目的训练之后，我给同学们出示了一道中考类型的变式题：如图4，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D点，已知，BD=6，CD=4，则高AD的长为多少。

这道题除涉及相似三角形判定、边边比例等外，还结合了前面所学的全等三角形的相关知识，是对学生综合三角形知识的考查。在具体的解答过程中，学生还需要过点B作BE⊥AC，垂足为E交AD于F，最后作图结果为图3，然后先利用ASA的定理证明△AFE≌△BCE，再利用“两角对应相等，两个三角形相似”的定理证明△BDF∽△ADC，在此之后，通过已知条件和相似三角形的对应边之比得出AD的长即可。这是一个在较高难度的几何图形中进行已知条件填充和未知条件求取的过程，对于培养学生对三角形全等、相似一体要素的注意能力和严密的逻辑思维能力具有显著作用。

三、 由表到里——依据逐层递进式的揭示变式

由表及里是一种对事物本质的逐渐揭示过程，体现在几何数学学习中，便是题目以简单的外部形式呈现，但当学生认为此简单的表象即是题目考查主旨而轻易去着手解题时，却发现简单的只是表象，而在表象内部的某一点才是题目的重难点，而题目真正考查的也在于此。对题目进行此类的变式，能够让学生在不轻易看轻一道题的前提下快速识别它表象之外的真正的重点。

例如：在与“圆”相关的题目中，我给同学们出了这样一道题：如图5，点A、B、C、D都在⊙○上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，求⊙O的直径。

在这里，通过∠ABC=90°，则根据“圆的直径对应的圆周角是直角”的定理，可判断出AC是⊙○的直径，连接AC，则∠ADC也为直角，所以△ACD为直角三角形，再根据AD和CD的數值，求出直径AC为13。所以，这道题表面在求直径，但内在关键在于对“圆的直径所对的圆周角是直角”定理的利用，此即是考查重点。在此之后，我给同学们又出了一道变式练习：如图6，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，求∠DAB。

关于这道题，学生利用思考惯性，能很快将BD相连，并知道这道题一定要利用“圆的直径对应的圆周角是直角”的定理，即∠ADB=90°，但当学生轻易利用此去求∠DAB时，会发现这里还有更深层次的利用“等弧所对的圆周角相等”得出∠CBD和∠ABD相等，进而根据相关已知条件，求得∠DAB的度数。在这里，学生很容易将直径所对的圆周角为直角当作此题的考查重点，但当其去细细推敲时，在直角圆周角表象的背后实则隐藏着的是弧和角的关系的内里。可见，这样的变式训练能够让学生在思考过程中逐渐生成对题目考察重点的识辨意识和能力，用谨慎缜密的思维去看待思考每一个问题。

除按由浅到深、由窄到宽、由表到里的方式进行几何模块变式训练，还可以按照学生思维的规律和学习的具体内容，挖掘更多、更有效的变式类型，让学生在变式中逐渐明晰其中对象本质以及变化因素，提高其思辨能力。

参考文献：

[1]马春燕.初中几何教学中的一题多变[J].数学学习与研究，2017（20）：145+147.

[2]刘延炳.一题多变 一题多证[J].中学课程辅导（初二版），2004（2）：19.

作者简介：冯擎豪，山东省烟台市，祥和中学。