关于阻力作用下小球上抛和下落的讨论

陈雪 韩玉龙 张静雅 王博

摘 要：竖直上抛和下落是运动学中典型的例子，中学物理易解决不考虑空气阻力运动情况的上抛和下落，本文了讨论小球在运动过程中受到阻力作用下的运动情况。

关键词：牛顿第二运动定律；阻力；上抛

不考虑阻力情况下，小球上抛过程中只在重力作用下运动。小球抛出后，加速度始终为重力加速度g的匀变速运动，可分为上抛时的匀减速运动和下落时的自由落体两个过程。两段过程具有严格的对称性，其中包括速度对称、时间对称和能量对称。

考虑阻力情况下，上述的对称性将被打破，本文讨论了质量为m的小球以初速度v0当从地面上竖直上抛，受到阻力情况下，小球落回地面的速度发生的变化。小球竖直上抛时，受力分析如图1所示，图中v为小球运动速度，h为小球上抛的最大高度。考虑如下两种情况。

图1 受力分析

一、 阻力大小为αmv2（黏滞系数α为常数，v为小球速度）

小球竖直向上抛出，受到重力和阻力作用，以地面为坐标原点，竖直向上为y轴正方向，由牛顿第二运动定律可得受力方程为

-mg-αmv2=mdvdt（1）

进行微元变换可得-mg-αmv2=mvdvdy，即

dy=mvdv-mg-αmv2（2）

对上述微分方程等式两边同时积分∫h0dy=∫0v0mvdv-mg-αmv2，可得小球落到地面的距离h为

h=12αlnmg+αmv20mg（3）

下落过程，重力方向依然竖直向下，而阻力方向向上，受力方程为

-mg+αmv2=mdvdt（4）

类似的可以获得下降过程的高度h表达式，其中v1为小球落到地面时的速度

h=12αlnmgmg-αmv21（5）

小球从地面上抛出，上升高度和下落高度相等，因此（3）和（5）式應一样，可得小球落到地面时速度满足

v1=v0gαv20+g（6）

二、 阻力大小为αmv（黏滞系数α为常数，v为小球速度）

受力分析过程不变，但是阻力表达式发生变化，可得上抛和下落过程的受力方程分别为

-mg-αmv=mdvdt（7）

-mg+αmv=mdvdt（8）

对上述方程做同样的处理，得到微dy的表达式后对等式两边同时积分，可以给出上抛最大高度和下落到地面高度所满足的表达式如式（10）和（11）所示

h=v0α+gα2lngg+αv0（10）

h=-v1α+gα2lng+αv1g（11）

由上抛和下落到地面的距离相等，可知h=v0α+gα2lngg+αv0=-v1α+gα2lng+αv1g，虽然此等式难以获得小球下落到地面时速度v1的解析表达式，但是可以确定的是等式中只有未知量v1，只要给出初速度、黏滞系数等值，即可以获得v1的结果。

参考文献：

[1]《力学词典》编辑部.力学词典[M].北京：中国大百科全书出版社，1990：118，161，277.

作者简介：

陈雪，安徽省六安市，安徽省皖西中学；

韩玉龙，张静雅，王博，安徽省芜湖市，安徽信息工程学院。