“建模—变式—拓展—反思”教学模式

刘海娟

【摘要】中考是学生面临的第一次选拔性的考试，初三总复习是教师和学生必经历的重要阶段，通常大家都把复习分成三个阶段，也是通常所说的三轮复习：第一轮，对数学知识章节进行系统性地梳理；第三轮侧重于综合训练，模拟考试，查漏补缺；所以对学生综合能力的提升和突破则落在第二轮专题复习上；从最近中考试卷来看，更多地考察学生的能力，特别是知识的迁移和变通能力，这样对教师和学生都提出了更高级别的要求，笔者结合自己多年初三复习教学经验，专题复习还是可以非常有效地强化重点，突破难点，在对多个专题教学的研究中，琢磨地构建了“建模—变式—拓展—反思”复习教学模式，并且运用了“建模—变式—拓展—反思”模式展开了中考第二轮专题复习实践，并从以下几个环节进行教学设计：“课前题组练习——建模”环节→“模型基础应用——基础变式”环节→“变式题组1——拓展变式”环节→“变式题组2—归纳反思”环节→课后题组检验环节，，在实践过程中，在强化重点，突破难点方面还是取得一定效果的。

【关键词】建模 变式拓展 复习教学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）01-0110-03

一、问题的提出

中考是学生面临的第一次选拔性的考试，初三总复习是教师和学生必经历的重要阶段，通常大家都把复习分成三个阶段，也是通常所说的三轮复习：第一轮，对数学知识章节进行系统性地梳理；第二轮，按数学思想方法或解题方法进行专题复习；第三轮，综合训练，模拟考试，查漏补缺。其中第一轮是复习初中基础知识，而第二轮才是对学生综合能力的一次提升，也是对突破中考压轴题、新题的如何分析题意和解题方法的一种强化训练，第三轮是更多地适应中考题型和考试心理应战状态，同时兼查漏补缺，所以，本人认为第二轮复习才尤为重要。

在刚结束的这届九年级总复习开始时，举办了一个小型座谈会，都一致感觉基础题没有问题，而困惑最大的是難题，新题听得懂，却做不来，一接触到没见过的题或信息量大的题，就不知如何下手解题，找不到切入口而一筹莫展。

以上种种说明要提高学生的解题能力，提高总复习的效率，需要教师加强和改进第二轮专题复习的教学模式。

二、“建模—变式—拓展—反思”教学模式的理念基础

美国数学家哈尔莫斯（P.P.Halmos）说：“数学的真正组成部分应该是问题和解题，解题才是数学的心脏。”

认知理论启示元认知就是主体对认知活动的自我意识和自我调节，它包括三个组成部分，即元认知知识、元认知体验、元认知监控，三者互为依据，互相相约，有机结合成一个统一整体，元认知理论强调人是积极主动的机体，其主体意识监控现在、计划未来，有效地控制自己的思维和学习过程，所以在解题活动中，元认知不仅能指明解题方向，诱发解题思路，而且能监控解题过程，克服解题障碍、优化解题过程，从而促进探索思维有效地展开。“建模—变式—拓展—反思”教学模式旨在探寻一种有效思维解题的复习模式。

波利亚解题思想是一种具有数学教育特征的解题理论，对此思想进行研究，使其能熟练地运用在解题教学实践中，培养学生的创造能力，他在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段：弄清问题→拟定计划→实现计划→回顾。“建模—变式—拓展—反思”教学模式旨在实践波利亚解题思想。

建模就是建立模型，就是为了理解事物而对事物做出一种抽象，建立模型的过程，又称模型化，凡是用模型描述系统的因果关系或相互关系的过程属于建模，“建模—变式—拓展—反思”教学模式就在于把一系列相关知识题抽象成一个基础知识原理，让学生应用更自如。

三、“建模—变式—拓展—反思”教学模式在中考数学专题复习中的实践研究

（一）“建模—变式—拓展—反思”教学模式的教学目标

1.强化重点，突破难点

在第一轮基础复习的基础上，学生对教材中的基础知识、基本方法和基本技能都有很深的理解，“建模—变式—拓展—反思”教学模式就是在把握重点的基础上，不断强化重点，以变式---拓展为主要呈现方式，突破难点。

2.加强建模意识培养，提升学生触类旁通的能力

整体初中阶段的数学知识体系可以分为三大类，每一大类的主线都非常明确，对学生而言，“数与代数”和“统计与概率”感觉容易，解题方法相对单一一点，容易找到解题的突破口，而对“图形与几何”感觉要难，解题方法灵活，变化多样。“建模—变式—拓展—反思”教学模式中的建模探究，结合反思、梳理成基本图形或基本原理，提升学生触类旁通的能力。

3.提升学生学习能力

学生学习数学大部分还停留在知识点，基础题准确率在第一轮复习后有明显提高，每次的考试，好学生的分数差异就在那么几题上，“建模—变式—拓展—反思”教学模式下，通过对一系列相关知识点的题进行建模、变式、拓展、反思等活动，提升了学生的学习能力。

（二）“建模—变式—拓展—反思”教学模式的操作程序

通过建模，对问题不断地进行变换，在变换中增加思维的难度，让学生的思维“跳—跳”，结合教学实践，笔者提出了“建模—变式—拓展—反思”教学模式，其一般流程图，如图：

从图中可以看出，此模式的操作流程突出了“建模—变式—拓展—反思”的教学模式，其主要操作如下：

1.“课前题组练习——建模”环节

由教师精心设计一组有关一个基础知识或一个基本原理的专项题组，提前一天下发，让学生做，上交，批改后个别同学个别辅导，在教师整理后，了解学生对这一知识点的认识水平，构想出建模的方法。

课前题组：

①如图，在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，现在要在公路L上建一座火力发电厂，向两个村庄A，B供电，为使所用电线最短，问供电厂C应建在何处？并说明理由。

②在上题中，如果A，B两个村庄位于公路L的同侧，又如何确定供电厂C呢？

建模：基础原理：两点之间线段最短

基础图形：如上图，关键是利用对称轴的性质进行转化。

2.“模型基础应用——基础变式”环节

模型基础题组的选题主要是基于刚刚建立的模型的基础变式，限时5分钟。学生在解题过程中，教师巡视，针对能力不够的学生进行适应辅导，然后师生共同分析，核对答案，学生迅速地自我批改、订正。

基础模型题组：

①如图1，村庄A正好是一个正方形ADEF的一个顶点，而村庄B正好落在边AD的中点上，而在菱形的对角线FD上建一座火力发电厂C，向两个村庄A，B供电，为使所用电线最短，问供电厂C应建在何处？并说明理由。

②如图2，边长为2的等边△ABC中，点D，E是AB，AC的中点，在BE上找一点P，使△ADP的周长最小。

③如图3，在菱形ABCD中，AB=4，E是BC上的动点，∠BAD=120°，請在BD上找点P，使PE+PC的值最小，并求出最小值。

3.“变式题组1——拓展变式”环节

变式题组1的选题主要是在模型基础应用的基础上进行适应的拔高，让学生的思维有一定模型应用概念和意识，让学生学会应用知识解决问题，通过拓展、反思，提炼出解决这一模型题的核心，归纳此类题解的前题，判断是否满足这一模型，如满足则应用这模型解题，归纳出解的方法和步骤，这是这节课的中心环节，也是重中之重，要求班上百分八十的同学要会做。如在模型基础应用的基础上又设计了如下一组题：

反思：通过以上一组变式题强化，对不同图形中的应用（图形本身很多自己具有轴对称性），学生进一步加深了对“利用轴对称求最小值”的理解，更深刻地理解在怎样的前提下应用它来解题。

4.“变式题组2—归纳反思”环节

前面三组题组还是紧扣基本模型的基础应用，而这环节就要让学生“跳一跳”，就是对前面知识应用与拓展，让学生真正学会融会贯通、举一反三的能力，从而真正体会到学习数学的价值。

变式题组2：

变式5：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，AB=1，AD=2，在BC、CD上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小，则△AMN的周长最小是____.

变式6：A、B两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且不行，如图，现要在河上垂直于河岸建一座桥，问：应把桥建在什么位置，才能使A村经过这座桥到B村的路程最短？请画出草图。

反思：这组题由前面的一条边找到点引申到两条边上找到点，由对称轴是两条线引申到两条平行线，这样的题源于前面“利用轴对称求最小值“基础模型，但又高于它，这就对学生的原有知识迁移能力有较高的要求。与此同时通过“变式题组2—归纳反思”环节，形成了一个从“套用”到“应用”的一个突破，从而突破这个模型应用的难点。

5.课后题组检验环节

课后题组检验环节主要中检测同学们在这节课中对这一基本模型掌握和应用情况。题组一般有两部分组成：一是让学生对课堂上模型进行归纳，对知识和解题方法进行整合归纳；二是由教师提供题组，题组紧扣课堂的知识、课堂上做错的题型、做得慢的题及没有解题思路的题。

（三）“建模—变式—拓展—反思”复习教学模式的具体操作实例

“建模—变式—拓展—反思”教学模式的操作流程，是笔者在多届复习实践中的归纳总结，并对这专题复习不断地反思和重建而得，下面就以“几何图形中的最值问题”为例，作一个具体说明。

1.“几何图形中的最值问题”教学内容的设置

在进入第二轮的专题复习时，学生已基本掌握了常规题的解题策略和方法，但最值问题始终是他们的“软肋”，得分率很低，也是拉开差距的题，所以，笔者觉得还是很有必要以“最值”为一个专题进行专门的突破。

为了充分了解学生对“最值”的实际掌握情况，笔者对九上一次小测试对下题作了一个简单的统计：

试题：如图，M，N是正方形ABCD的边BC上两个动点，满足BM=CN，连结AC交DN于点P，连结AM交BP于点Q，若正方形的边长为1，则线段CQ的最小值是____________.

从以上简单统计反馈来看，最值的求解还是他们的短板，下面就通过《几何图形中的最值》教学设计来说明“建模—变式—拓展—反思”复习教学模式的实施。

2.“几何图形中的最值问题”教学效果检测

试题：在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线CD，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=4，试求出线段CP的最小值是___________.

说明：这是九下第二轮复习做的，离上次相隔时间有点长，并且901班讲过这专题后做，而902班没讲。

从两个表格对比来看，901班准确率明显提升了，从12.8%提升到44.7%，主要的原因是只要掌握了基本模型，直接套用就能得出正确答案，知道了这种题如何下手。

四、结束语

中考一再强调杜绝“题海战术”，并且从最近中考试卷来看，更多地考查学生的能力，特别是知识的迁移和变通能力，这样对教师和学生都提出了更高级别的要求，笔者结合自己多年初三复习教学经验，专题复习还是非常有效强化重点，突破难点，对多个专题教学的研究，构建了“建模—变式—拓展—反思”复习教学模式，并且运用了“建模—变式—拓展—反思”模式展开了中考第二轮专题复习实践，最后从统计的结果来看“建模—变式—拓展—反思”复习模式还是可行和有效的。

在“建模—变式—拓展—反思”实践过程中，最大的困难是如何确定这“模”，怎样建“模”学生易懂，会用，而这困难正是笔者今后研究的方向。如有不妥之处，也请同仁给予指正，共同进行。

参考文献：

[1]波比亚.怎样解题[M].北京科学出版社，1989

[2]《怎样学会解题》《中学数学教学参考》2009年3期 第9页

[3]《激活解题思路，探究拓展变式》《中学数学教学参考》2013年中旬1-2第58页