力学斜面模型的建构和课堂教学实施

熊雪

摘 要：力与运动的考查是物理高考的热点，也是难点，在全国高考物理卷中常常作为“压轴题”出现。而在力学问题的考查中，“斜面”是最常出现的物理模型之一。在初中阶段，斜面作为简单机械就已经要求学生能进行一定的功能关系的计算，高中阶段也是在高考中经常出现的模型。物理建模能力是物理学科的核心素养之一。本文归纳了高中阶段常见的斜面模型，并总结了一些有用的二级结论，通过对高考题目分析和变式训练，帮助高三复习的师生更好地掌握这一理想模型的应用。

关键词：建模；高考典型问题分析；斜面模型

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2019）1-0007-5

1 概 述

力与运动的考查是高考物理的热点，也是难点。表1是近两年全国高考物理考点统计（注：热学、光学内容作为选考，不纳入统计）。

由上表明显看出，力和运动的考查几乎占整张物理试卷的一半。力学试题可能涉及到单个物体的单一运动过程，也可能涉及到多个物体、多个运动过程，在知识的考查上可能涉及到运动学、动力学、功能关系等多个规律的综合运用，一般难度较高，在全国高考物理卷中，常常作为“压轴题”出现。而力学问题的考查中，“斜面”是最常出現的物理模型之一。

在初中阶段，斜面作为简单机械就已经要求学生能进行一定的功能关系的计算，高中阶段更是对力的分解到功能关系以及动量定理有一定要求。斜面问题一直是教材以及各类教辅资料中习题的重点，也是连年高考中经常出现的模型。而学生的建模能力，也是物理学科的核心素养之一。另外，连续多年理科综合考试中，学生最突出的问题就是答题时间不够。以2017年全国高考理科综合卷为例，全卷文字10885字，不包括图形。这就意味着学生平均每分钟的阅读量为73字，再加上思考和书写，时间的紧迫可想而知。因此，物理教学中适当建立模型，归纳一些二级结论，能够帮助学生在有限的考试时间中减少思维的路径，更容易看到问题的考点和核心，更高效、更快速、更准确地回答问题。

在课堂教学实践中，教师可以帮助学生归纳出几种典型的斜面模型，并利用例题层层深入，引导学生逐步思考，深挖物理模型的特点和规律，最终学会分析问题和利用模型解决实际问题，从而提升学科素养。

斜面模型结构归纳如图1所示。

2 典型习题分析

2.1 固定光滑斜面

真题呈现：

【2012·上海物理】 如图2所示，光滑斜面固定于水平面，滑块A、B叠放后一起冲上斜面，且始终保持相对静止，A上表面水平。则在斜面上运动时，B受力的示意图为（ ）

答案：A

【分析】 物体A、B整体向上做匀减速直线运动，加速度方向沿斜面向下，且a=gsinθ（斜面倾角为θ），由牛顿第二定律可知，B物体所受合力一定沿斜面向下，因为摩擦力一定垂直于该接触面的弹力，故B物体一定受到水平向左的摩擦力，故A选项正确。

变式训练：上题中，若A物体的质量为M，B物体的质量为m，则B物体受到的摩擦力多大？支持力多大？

答案：摩擦力 f=mgsinθcosθ，支持力N=mg（1-sin2θ）

2.2 固定粗糙斜面

真题呈现：

【2013·广东卷】 （多选题）如图4所示，物体P静止于固定的斜面上，P的上表面水平。现把物体Q轻轻地叠放在P上，则（ ）

A.P向下滑动 B.P静止不动

C.P所受的合外力增大

D.P与斜面间的静摩擦力增大

答案：BD

【分析】 斜面上的物体不受其他外力作用恰能匀速下滑时，则斜面的动摩擦因数μ=tanθ。物体P原来处于静止状态，则μ≥tanθ，把Q轻置于P上， μ不变，P、Q相当于一个整体，（mP+mQ）gsinθ≤μ（mP+mQ）gcosθ。所以，P仍然保持静止，静摩擦力增大。

变式训练：上题中，若P在斜面上匀速下滑，轻置Q后，P、Q将怎样运动？若加速下滑呢？

【结论】 不管P原来怎样运动，由于斜面倾角不变，则μ不变，加上Q后相当于重力增大，所以运动状态都不会改变。

这一结论常常用于“验证牛顿第二定律”的实验。

真题呈现：

【2013·高考天津理综物理第9题】 （2）某实验小组利用图5所示的装置探究加速度与力、质量的关系。

①下列做法正确的是（ ）（填字母代号）

A.调节滑轮的高度，使牵引木块的细绳与长木板保持平行

B.在调节木板倾斜度平衡木块受到的滑动摩擦力时，将装有砝码的砝码桶通过定滑轮拴在木块上

C.实验时，先放开木块再接通打点计时器的电源

D.通过增减木块上的砝码改变质量时，不需要重新调节木板的倾斜度

②③略

答案：AD

【分析】 调节斜面倾角，使木块恰能匀速下滑，则同样动摩擦因数μ=tanθ，理由同上题。所以，增减砝码改变木块的质量，木块和砝码所受的重力、支持力和摩擦力仍然平衡，合外力等于细线的拉力，所以不需要重新调节木板的倾斜度。

2.3 粗糙水平面上的可动斜面

这类问题一般涉及整体和单个物体的受力分析，若用好前面的二级结论，则题目思考过程会更简洁明快。

真题呈现：

【2013·北京卷】 倾角为α、质量为M的斜面静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面上。下列结论正确的是（ ）

A.木块受到的摩擦力大小是mgcosα

B.木块对斜面的压力大小是mgsinα

C.桌面对斜面的摩擦力大小是mgsinαcosα

D.桌面对斜面的支持力大小是（M+m）g

答案：D

【分析】 对木块进行受力分析可知，木块受到的摩擦力f=mgsinα，A选项错误；斜面对木块的支持力N=mgcosα，B选项错误；将木块与斜面作为一个整体，可知桌面对斜面的摩擦力为零，支持力大小等于（M+m）g，C选项错误，D选项正确。

变式训练：上题中，若斜面上表面光滑（倾角为θ），在木块下滑的过程中，斜面保持静止不动，则桌面对斜面的支持力多大？有摩擦力存在吗？摩擦力多大？

答案：摩擦力 f=mgsinθcosθ，支持力N=mg（1-sin2θ）

桌面对斜面的支持力 N=（M+m）g-mgsin2θ，桌面对斜面有摩擦力，摩擦力f=mgsinθcosθ

【分析】 對木块和斜面整体，由于木块下滑的过程中加速度a=gsinθ，方向沿斜面向下，可分解为水平方向的加速度ax=asin2θ，竖直方向（向下）的加速度ay=asinθcosθ。

2.4 光滑水平面上的可动斜（曲）面

这种模型的一般考查点有：①水平方向动量守恒。从前面的分析可知，斜面（或曲面上）的物体加速滑动时，竖直方向上所受的合外力不为0，因此，系统总的动量不守恒。但由于光滑的水平面上，水平方向不受外力，所以水平方面动量守恒。因此，在此类问题中，常常把斜面转化为曲面，保证在底端速度水平，降低问题的难度。②功能关系。若光滑水平面上的斜（曲）面上表面光滑，则系统水平方向动量守恒且机械能守恒；若光滑水平面上的斜（曲）面上表面粗糙，则水平方向动量守恒，系统机械能不守恒，系统减少的机械能转化为系统的内能（摩擦生热）。

典例分析：如图6所示，两个质量分别为M1和M2的劈甲和劈乙，高度相同，放在光滑水平面上。劈甲和劈乙的倾斜面都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切。一质量为m的物块位于劈甲的倾斜面上，距水平面的高度为h。物块从静止开始滑下，然后又滑上劈乙。求物块在劈乙上能够到达的最大高度。

延伸思考：上题中，若劈甲、乙固定，阻力都忽略不计。物块从静止开始下滑，那么在物块滑动过程中，物块与劈组成的系统水平方向动量守恒吗？机械能守恒吗？物块能滑到原来的高度吗？ 若劈甲固定、劈乙不固定，情况又如何？

答案：劈甲、乙固定，水平方向动量不守恒，物块与地球组成的系统机械能守恒，所以物块能够滑到原来的高度。若劈甲固定、劈乙不固定，则物块滑上乙时水平方向动量守恒，物块、斜面和地球组成的系统机械能守恒，物块不能滑到原来的高度。

变式训练1：若劈甲、乙组装成一槽，槽固定，高度为h ，表面粗糙。物块以初速度v0滑下，并且滑到 B 点的速度仍为v0，那么物块从 A点滑到 B 点，克服摩擦力做了多少功？若初速度改为2v0，滑到 B 点的速度还是 2v0 吗？（设摩擦力大小不变）

答案：mgh；还是。

延伸思考：

若槽不固定，质量为M，水平桌面光滑，槽表面也光滑。物块（质量为m）从劈甲距底端高度为h处由静止开始下滑，问：（1）在物块滑动过程中，槽如何运动？物块能滑到与初位置等高的C 点吗？（2）当物块滑到最底端时，物块和槽的速度各是多少？物块从 A 点滑到 B 点过程中，物块对槽做了多少功？槽又对物块做了多少功？（3）若物块以初度v0滑下，物块恰能滑到 C 点，此时物块和槽的速度是多少？

延伸思考2：若物块固定，槽不固定，桌面光滑，槽上表面粗糙。物块从劈甲距底端高度为h处由静止开始下滑，到达最底端时，速度与上题一样吗？为什么？

经过课堂实践表明，通过这样逐步深入的专题训练，学生对斜面模型的解题思路有了清晰的认识，再遇到一些结合实际的问题时，也比较容易建立物理模型，较好地回答问题。

（栏目编辑 赵保钢）