变化环境下考虑线型不确定性的水文设计值估计

张 洁，梁忠民，胡义明，王 军，李彬权

(河海大学水文水资源学院，南京 210098)

洪水资料的一致性是现行水文频率分析计算的基本前提[1]。近年来，人类活动和气候变化使得洪水形成的下垫面和气候条件发生了重大改变，水文极值系列不再具有一致性，那么一致性条件下的水文频率分析方法在变化环境下也就不再适用[2-7]。因此，变化环境下非一致性水文频率分析方法的研究成为广大学者的研究重点，其中，基于变参数概率分布模型途径的非一致性水文频率分析是目前研究最为广泛的方法之一[8-10]。其通过分析不同变参数概率分布模型的拟合效果，选取拟合最优的模型作为最终使用模型。在此基础上，采用期望等待时间法、期望发生次数法、设计寿命水平法[9]或等可靠度法[10]推求变化环境下特定重现期对应的非一致性水文设计值。水文设计值推求的可靠性受诸多因素影响，如模型类型、参数估计等。胡义明等研究了变参数概率分布函数模型中参数估计不确定性、模型输入不确定性以及2者耦合对水文设计值估计的影响[9]。变化环境下非平稳的水文极值系列理论上的变参数概率分布模型无法得知，这使得依据拟合最优原则获得的最优模型也未必能精准地代表非平稳极值系列的概率分布特征，导致依据单一最优拟合模型计算的结果不可避免地存在不确定性。

为此，本文选取赤池信息准则(AIC)评估了多个变参数概率分布模型的拟合效果，提出将拟合效果较好的若干种变参数概率分布函数模型进行综合，以减小模型选择对水文设计值产生的不确定性影响，增强水文频率分析计算得到的水文设计值的可靠性。

1 方法原理

1.1 “等可靠度”法基本原理

下面介绍“等可靠度”法。假定工程设计寿命期为L，且n年的历史洪峰资料x1，x2，…,xn存在减少趋势；采用“等可靠度”法推求重现期为T的设计洪水的基本流程可表述如下[9]。

首先采用分布参数随时间等协变量的变化而变化的变参数PE3概率分布函数描述该洪峰系列。假定尺度参数β和形状参数γ为不随时间变化的常数，而位置参数μ随时间线性变化，即：

μ(t)=μ0+μ1t

(1)

β=β0

(2)

γ=γ0

(3)

此时，变参数的PE3概率密度函数可表示为：

(4)

变参数PE3概率分布函数为Ft[μ(t),β,γ],t=1,2,…,n，其中的参数μ0、μ1、β和γ可由n年的历史洪峰数据x1，x2，…,xn估计得到，进而推求工程寿命期内(n+1～n+L)逐年的变参数PE3概率分布函数Ft[μ(t),β,γ],t=n+1,n+2,…,n+L。则变化环境下水文设计值XT,NS的水文可靠度为：

(5)

(6)

(7)

根据“等可靠度”法，变化环境的非一致性条件下不再具有重现期的概念，但非一致性条件下计算的水文设计值所具有的可靠度至少应该达到一致性条件下计算的设计值的可靠度。令：

RNS=RS

(8)

求解式(8)，即可得到变化环境下非一致性条件的水文设计值XT,NS。

1.2 考虑模型选择不确定性的设计值计算

采用变参数概率分布模型进行变化环境下非一致性水文频率分析时，由于人类活动和气候变化对水文极值系列分布规律产生了很大影响，因此将分布函数中的参数设定为随时间等协变量而改变的变量，而不再采用常数。然而，概率分布中参数随协变量变化的准确关系是未知的，现阶段拟合效果最好的模型并不能保证在未来也始终优于其他模型，随着时间的外延，水文设计值估计的可靠性越来越低，而不确定性随之增大。为降低模型选择导致的不确定性，增强水文频率分析计算结果的可靠性，可综合考虑多个拟合效果较好的变参数概率分布模型，其中，各模型的权重可由其拟合程度确定。下面阐述推求设计重现期为T，工程设计寿命为L的水文设计值的具体过程。

(1)以不同的概率分布函数(如PE3概率分布函数、广义极值分布函数等)为基础，构建不同的变参数概率分布函数模型来拟合变化环境下非平稳的水文极值系列。假定概率分布函数中位置参数、尺度参数、形状参数等参数随时间这一协变量的变化而变化，采用AIC指标评估各模型拟合效果，并根据拟合效果选出拟合效果最优的前m个模型，记为Mi，i=1,2，…，m。

(2)基于“等可靠度”法计算步骤(1)中第i个模型Mi对应的水文设计值X(Mi)，i=1,2，…，m：

(9)

(3)采用AIC指标对拟合效果进行评估。AIC值越小的模型拟合效果越好，其所占权重也应该越大。根据评估结果，计算模型Mi的权重wi，i=1,2，…，m；

(10)

式中：AICi为第i个模型Mi的AIC值。

(4)将m个模型计算的水文设计值X(Mi)加权平均，获得综合水文设计值X，进而降低模型选择的不确定性影响。即：

(11)

值得注意的是，公式(10)仅适用于经AIC评估后2个或2个以上模型的AIC值接近且明显小于其他模型的情况。权重的计算仅限于拟合效果较好的模型，而不能应用于建立的全部模型。当某个模型的AIC值明显小于其他模型时，可直接采用此最优模型进行水文频率分析计算。AIC值作为评估模型拟合效果的指标，具有对各模型筛选比较的功能，AIC值明显较高的模型拟合效果差，应该及时去除，否则不能发挥AIC指标的功能，将大大增加水文设计值的误差。公式(10)的作用是在AIC指标排除较差模型的基础上，将筛选得到的优秀模型进行综合，以进一步增强水文频率分析计算的可靠性。

2 实例研究

本文研究对象为黄龙滩站1956-2014年共59 a的7 d洪量历史观测资料，黄龙滩站所在流域的位置、水系和水库分布等情况[4]见图1。图2为7 d洪量系列的时间序列图。由图2可知，7 d洪量系列明显地随时间而减小。

图1 黄龙滩所在流域基本情况Fig.1 Basic information map of Huanglongtan river basin

图2 7 d洪量时间序列Fig.2 Time series of 7 day flood volume

选定时间作为协变量，通过假设PE3和GEV分布函数的位置参数或尺度参数并非常数而是随协变量变化的变量，建立下面4个不同的变参数概率分布模型。每个模型中参数与协变量的关系如下。

(1)模型1：PE3分布函数中的尺度参数β和形状参数γ为不随时间变化的常数，而位置参数μ是随时间线性变化的变量，记为PE3-Loc，即：

μ(t)=μ0+μ1t,β(t)=β0,γ(t)=γ0

(12)

(2)模型2：PE3分布函数中的形状参数γ为不随时间变化的常数，而位置参数μ和尺度参数β是随时间线性变化的变量，记为PE3-Loc-Scl，即：

μ(t)=μ0+μ1t,β(t)=exp(β0+β1t),γ(t)=γ0

(13)

(3)模型3：GEV分布函数中的尺度参数α和形状参数γ为不随时间变化的常数，而位置参数ξ是随时间线性变化的变量，记为GEV-Loc，即：

ξ(t)=ξ0+ξ1t,α(t)=α0,γ(t)=γ0

(14)

(4)模型4：GEV分布函数中的形状参数γ为不随时间变化的常数，而位置参数ξ和尺度参数α是随时间线性变化的变量，记为GEV-Loc-Scl，即：

ξ(t)=ξ0+ξ1t,α(t)=exp(α0+α1t),γ(t)=γ0

(15)

采用贝叶斯方法对模型参数进行估计，模型的估计参数为最大后验概率值对应的参数。平行运行5条链，在经过1 000次采样后，各个模型的采样样本已收敛。每条链上除去用于预热的前面900个样本后余下100个参数，总共余下500个参数组，而参数的最大后验估计就是得到最大参数后验密度值的参数。计算各个模型的AIC值，以此作为指标评估各模型的拟合效果，见表1。

表1 不同模型拟合的AIC指标值Tab.1 AIC for assessing the model performance

由表1可知，AIC指标值最小的模型是模型2即PE3-Loc-Scl模型，由此得到此模型具有最好的拟合效果。模型4即GEV-Loc-Scl次之，且2模型的AIC值较为接近。直接采用PE3-Loc-Scl模型进行7 d洪量设计值计算可能存在误差，故综合考虑PE3-Loc-Scl和GEV-Loc-Scl 2种模型，以降低模型选择对水文设计值产生的不确定性影响，增强水文频率分析计算结果的可靠性。

分别将PE3-Loc-Scl和GEV-Loc-Scl的 AIC指标值的倒数占2种模型AIC指标值倒数之和的比重作为其权重，见表2。

表2 PE3-Loc-Scl和GEV-Loc-Scl的权重计算Tab.2 The weights of PE3-Loc-Scl and GEV-Loc-Scl

计算重现期为100 a时，PE3-Loc-Scl模型、GEV-Loc-Scl模型和综合模型计算的7 d洪量设计值随时间的变化趋势，见图3。

图3 PE3-Loc-Scl模型、GEV-Loc-Scl模型和综合模型100 d一遇7 d洪量设计值的时间变化规律Fig.3 The change with time of design values of one-hundred-year 7 day flood volume for the PE3-Loc-Scl model、the GEV-Loc-Scl model and the comprehensive model

根据图3，PE3-Loc-Scl模型、GEV-Loc-Scl模型和综合模型计算的重现期为100 a时的7 d洪量设计值均随时间呈减少趋势，与7 d洪量实测资料的趋势相一致。PE3-Loc-Scl模型和GEV-Loc-Scl模型的100 a一遇7 d洪量设计值存在差异，2者加权平均后的综合模型得到的综合设计值可能具有更高的可靠度。在1956-2014年总共59 a的7 d洪量实测资料中，有0次超过综合模型100 a一遇7 d洪量设计值，表明综合模型的拟合效果较好。

基于PE3-Loc-Scl模型、GEV-Loc-Scl模型和综合模型，采用“等可靠度”法计算设计标准为100 a一遇和20 a一遇时，40、60、80、100 a的工程设计寿命对应的7 d洪量设计值，结果见图4。尽管PE3-Loc-Scl模型和GEV-Loc-Scl模型的拟合效果接近，但根据2者计算的7 d洪量设计值却存在较大差异。由于无法知晓其理论分布，因此，2个模型都未必能精准地代表该洪量系列的概率分布特征，故对2个模型的计算结果进行加权综合获得综合设计值，以尽可能地降低模型选取对设计值的影响。

图4 不同工程设计寿命期及重现期下3种模型推求的7 d洪量期望估计Fig.4 Design value for 7 day flood volume of three models with different return periods under the conditions of different design engineering life

3 结 论

(1)采用AIC指标评估多个模型对7 d洪量系列的拟合效果，并根据AIC评估结果计算较优模型的权重，综合不同变参数概率分布模型的计算结果。

(2)较优模型具有相近的拟合效果，但推求的设计值却表现出较大差异性。通过综合多个较优模型的计算结果，一定程度上增强了计算结果的可靠性。

(3)当采用其他方法(如期望等待时间法等)推求非一致性条件下水文设计值时，同样可以采用类似方法计算综合水文设计值以减小模型选择的不确定性。