主成分分析的燃气采暖热水炉运行性能评价

周伟业， 刘文博， 吕昕宇， 王 艳

(1.中国市政工程华北设计研究总院有限公司城市燃气热力研究院，天津300384； 2.国家燃气用具质量监督检验中心，天津300384)

1 概述

随着国家对环保问题的逐渐重视，房地产市场的火爆，以及“煤改气”工程的逐步推进，燃气采暖热水炉领域迎来了突飞猛进的增长势头。中国土木工程学会燃气分会统计数据显示，从2009年至2016年，燃气采暖热水炉的年均增长率达到了27%，2017年中国市场燃气采暖热水炉的销量陡然升高，达到了550×104台，其中用于煤改气工程的燃气采暖热水炉销量为377.5×104台。目前，燃气采暖热水炉产品主要依据GB 25034—2010《燃气采暖热水炉》(以下简称GB 25034—2010)来检验判定是否合格，并依据GB 20665—2015《家用燃气快速热水器和燃气采暖热水炉能效限定值及能效等级》进行能效分级。在此前提下，如何定量地评价判断燃气采暖热水炉运行性能的优劣值得探讨。

经分析，燃气采暖热水炉的运行性能可以用额定热输入时供暖热效率、干烟气中O2体积分数、干烟气中CO体积分数、干烟气中CO2体积分数、干烟气中NOx体积分数及排烟温度6个指标进行综合评价。

2 评价模型构建

2.1 主成分分析法

主成分分析法是将原始指标重新组成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原始指标的一种统计方法。通过空间的坐标旋转，得到的主成分是原始指标的线性组合，能够最大程度地反映原始指标所包含的信息，使原来的多维问题大大简化[1-4]。

2.2 评价模型的建立

2.2.1 构建评价矩阵

假设对m台燃气采暖热水炉的运行性能进行评价分析，选取能够反映评价对象特征的n类评价指标，可以得到由原始测试数据构成的评价矩阵X：

(1)

式中X——由原始测试数据构成的评价矩阵

xij——第i(i=1,2,…,m)台燃气采暖热水炉的第j(j=1,2,…,n)类评价指标的原始测试数据

2.2.2 原始测试数据标准化处理

为了排除数量级和量纲不同带来的影响，首先对原始测试数据作标准化处理，使得每个指标的平均值为0，方差为1。数据标准化处理可按式(2)进行：

(2)

式中zij——处理后的标准化指标

xavg,j——第j类评价指标的样本均值

σj——第j类评价指标的标准差

由此可以得到标准化评价矩阵为：

(3)

式中Z——标准化评价矩阵

zij——第i台燃气采暖热水炉的第j类处理后的标准化指标

2.2.3 相关系数矩阵

标准化评价矩阵对应的相关系数矩阵为：

(4)

式中R——标准化评价矩阵对应的相关系数矩阵

rjp——相关系数，p= 1,2,…,n

2.2.4 特征值与特征向量计算

利用SPSS数据统计分析软件，解特征方程(5)：

|λE-R|=0

(5)

式中λ——相关系数矩阵特征值

E——n阶单位矩阵

解方程(5)得到n个特征值λ1、λ2、…、λw、…、λn，并按从大到小排序λ1>λ2>… >λw>… >λn。

以特征值λw为例，解方程(6)：

(λwE-R)Aw=0

(6)

式中Aw——特征值λw对应的特征向量，为非零列向量

Aw=[aw1,aw2,…,awj,…,awn]T

(7)

式中awj——特征向量Aw的元素

主成分分析法中的特征向量是具有单位化长度的向量，且在该条件下进行主成分指标值的计算以及最终的得分排名。根据特征向量的概念，当特征向量具有单位化长度时，特征值λw对应的特征向量有两个，分别为Aw和-Aw。因此，各特征值对应的特征向量为qA1、qA2、…、qAw、…、qAn，其中，q=1或q=-1。

2.2.5 主成分提取

根据相关系数矩阵R的特征值，可以得到第k个主成分的方差贡献率ek，计算公式为：

(8)

式中ek——第k个主成分的方差贡献率

λk——第k个主成分的特征值

λsum——所有特征值之和

则前k个主成分的累计方差贡献率Ek为：

(9)

式中Ek——前k个主成分的累计方差贡献率

t——主成分累计数量

主成分的顺序是按特征值λ1、λ2、…、λk、…、λn从大到小顺序排列的，在实际应用中，应尽量提取较少的主成分来进行综合评价，但还应使得损失的信息量尽可能少。一般当主成分累计方差贡献率Ek满足式(10)时，此时的主成分累计数量t即为需要提取的主成分数量。

Ek≥0.85

(10)

2.2.6 运行性能综合评价指标值

第i台燃气采暖热水炉第k个主成分的指标值,可以根据式(11)将特征向量与标准化矩阵元素相乘进行计算：

Fik=ak1zi1+ak2zi2+…+akjzij+…+aknzin

(11)

或：

Fik=-(ak1zi1+ak2zi2+…+akjzij…+aknzin)

(12)

式中Fik——第i台燃气采暖热水炉第k个主成分的指标值

akj——特征值λk对应的特征向量的元素

以每个主成分所对应的方差贡献率占所提取主成分的累计方差贡献率的比例作为权重，计算主成分综合评价指标值，则第i台燃气采暖热水炉运行性能综合评价指标值Fi的计算公式为：

(13)

式中Fi——第i台燃气采暖热水炉运行性能综合评价指标值

2.2.7 特征向量合理性验证

当采用SPSS数据统计分析软件进行主成分分析时，软件在计算时选取的特征值λw对应的特征向量是Aw还是-Aw，是不确定的。或者采用其他方法计算时，特征向量的选取也是不确定的。确定选取的特征向量是否合适，只有通过选取实例来进行分析。

以上述分析为基础，选取或构建能够确定排名先后顺序的样本，根据主成分指标值Fik的判断准则，可以确定计算时选取的特征向量是Aw还是-Aw。同样也可以确定主成分指标值计算公式为公式(11)还是公式(12)。

2.2.8 综合排名

根据第i台燃气采暖热水炉运行性能综合评价指标值Fi，按照降序的方法对燃气采暖热水炉运行性能进行综合排名，Fi越大，说明该燃气采暖热水炉的综合运行性能越好，综合排名也越前。

3 算例

以40台普通大气式燃气采暖热水炉为例，应用主成分分析法对燃气采暖热水炉运行性能进行评价。

所选样本的额定供暖热输入为20 ～ 40 kW，使用的燃气种类均为天然气(12T)，供暖系统均为封闭式。燃烧器均为大气式燃烧器，结构形式为炉排式结构，燃烧器头部采用口琴式结构，材质为不锈钢，主换热器均由带翅片的紫铜盘管制成，风机类型包括定频风机和变频风机。样本机型包括板式换热器换热机型和套管式换热器换热机型。

试验时的试验室条件、热平衡条件、电源条件、试验气条件和基准状态均按GB 25034—2010第7.1.1条的规定执行。额定热输入时供暖热效率的试验条件和试验方法均按照GB 25034—2010第7.7.1条的规定执行。燃烧产物的采样按照GB 25034—2010第7.1.2条的规定执行。

3.1 评价矩阵的构建

对40台燃气采暖热水炉分别测试额定热输入时供暖热效率、排烟温度和干烟气中各组分的体积分数。由于篇幅限制，其中10个样本的测试结果见表1。测试指标额定热输入时供暖热效率、排烟温度、干烟气中O2体积分数、干烟气中CO体积分数、干烟气中CO2体积分数、干烟气中NOx体积分数分别用x1、x2、x3、x4、x5和x6表示。

3.2 测试数据的标准化处理

SPSS数据统计分析软件具有完整的数据输入、编辑、统计分析等功能，可以进行数据的相关性分析、一元方差分析、非参数检验、多元回归分析、判别分析、因子分析等。因此，本文使用SPSS数据统计分析软件并结合文献[5]进行数据处理分析。

排烟温度的高低反映了热量被吸收的程度。排烟温度越高，则代表吸收的热量越少，即随烟气排出的热量越多。因此，在进行数据分析时，排烟温度取负值进行处理分析。

燃烧产物中O2体积分数越高，说明空气中参与燃烧的O2越少。在相同空气量条件下，燃烧产物中O2体积分数越高，消耗的燃气越少，即燃烧越不充分。因此，在进行数据分析时，燃烧产物中O2体积分数取负值进行处理分析。

燃烧产物中CO产生的原因是燃气不完全燃烧，干烟气中CO体积分数越高，说明燃烧越不充分，燃烧效果越不好。因此，在进行数据分析时，CO体积分数取负值进行处理分析。

燃烧产物中CO2体积分数越高，说明燃气燃烧越充分，燃烧效果越好。因此，在进行数据分析时，CO2体积分数按正值进行处理分析。

燃烧产物中NOx体积分数越高，对环境的污染越大。因此，在进行数据分析时，NOx体积分数取负值进行处理分析。

结合式(2)对原始测试数据进行标准化处理，得到10个样本的标准化评价矩阵，以表格形式表达，见表2。处理后的标准化指标额定热输入时供暖热效率、排烟温度、干烟气中O2体积分数、干烟气中CO体积分数、干烟气中CO2体积分数、干烟气中NOx体积分数分别用1～6列的数据表示。

表2 10个样本的标准化评价矩阵

3.3 评价指标的相关性分析

结合式(4)，利用SPSS数据统计分析软件，对各评价指标之间的相关性进行分析，相关系数矩阵采用表格形式表达时见表3。

3.4 特征值和特征向量的计算

利用SPSS数据统计分析软件，求解特征方程(5)，得出评价矩阵的特征值，求解方程(6)，可得出各特征值λw对应的特征向量qAw，见表4。

3.5 主成分的提取

由表4可以看出，原始指标经过转换后重新组成了6个新的指标，称作主成分。每个主成分均包含有6个原始指标的信息，区别在于不同的主成分中6个原始指标对该主成分的影响程度不同。按照特征值从大到小顺序进行排列，命名为主成分1、主成分2、…、主成分6。

表3 相关系数矩阵

表4 评价矩阵的特征值和对应的特征向量

根据式(8)和(9)，得出各主成分的方差贡献率和累计方差贡献率，见表5。由式(10)可知，按照累计方差贡献率大于等于0.85的原则，从表5可以看出，前3个主成分的累计方差贡献率为0.889，基本能代表原始指标的绝大部分信息。因此，用前3个主成分进行燃气采暖热水炉运行性能的评价分析是可行的。

表5 各主成分的方差贡献率和累计方差贡献率

3.6 综合评价指标值的确定

根据表4中主成分对应的特征向量和式(11)、(12)，得到前3个主成分的指标值的计算公式，分别为：

当q=1时，

Fi1=0.445zi1+0.181zi2+0.543zi3-

0.130zi4+0.545zi5-0.396zi6

(14)

Fi2=0.470zi1+0.649zi2-0.109zi3+

0.420zi4-0.097zi5+0.404zi6

(15)

Fi3= 0.012zi1-0.519zi2+0.209zi3+

0.802zi4+0.213zi5+0.094zi6

(16)

当q=-1时，

Fi1=-0.445zi1-0.181zi2-0.543zi3+

0.130zi4-0.545zi5+0.396zi6

(17)

Fi2=-0.470zi1-0.649zi2+0.109zi3-

0.420zi4+0.097zi5-0.404zi6

(18)

Fi3=-0.012zi1+0.519zi2-0.209zi3-

0.802zi4-0.213zi5-0.094zi6

(19)

由公式(13)可得第i台燃气采暖热水炉的运行性能综合评价指标值Fi：

Fi=0.555Fi1+0.255Fi2+0.190Fi3

(20)

3.7 特征向量合理性验证

结合3.2节中评价指标的分析，并对比40个样本的测试结果，选取样本9和样本11进行评价模型唯一性的验证确定。表6为样本9和样本11的测试结果，可以看出，与样本11相比，样本9的热效率和干烟气中CO2体积分数更高，排烟温度、干烟气中O2体积分数、干烟气中CO体积分数和干烟气中NOx体积分数更低。因此，可以确定样本9的运行性能比样本11更优，对应的各主成分指标值也更高。

表6 样本9和样本11的测试结果

依据公式(14) ～ (19)，分别计算q=1和q=-1时样本9和样本11的3个主成分指标值。

对于Fi1：

当q=1时，F91=2.666，F111=-4.483；

当q=-1时，F91=-2.666，F111=4.483。

对于Fi2：

当q=1时，F92=1.419，F112=-1.039；

当q=-1时，F92=-1.419，F112=1.039。

对于Fi3：

当q=1时，F93=-0.200，F113=0.208；

当q=-1时，F93=0.200，F113=-0.208。

可以看出，对于Fi1和Fi2，当q=1时样本9的主成分指标值更高，对于Fi3，当q=-1时样本9的主成分指标值更高。因此，可以确定公式(14)、(15)和(19)为3个主成分指标值的计算公式。

3.8 运行性能的排名

根据式(14)、(15)、(19)、(20),可以计算出每台燃气采暖热水炉的运行性能综合评价指标值。然后按照降序由大至小进行排序，可以得到40台燃气采暖热水炉的运行性能综合排名。综合评价指标值Fi越大，说明燃气采暖热水炉的运行性能越好，综合排名越前。10个样本的运行性能排名见表7，其中，样本9的综合评价指标值为1.881，是40个样本中指标值最高的，因此综合排名为1；样本4的综合评价指标值为-2.794，是40个样本中指标值最低的，因此综合排名为40。

表7 10个样本的运行性能排名

4 结语

① 选取燃气采暖热水炉运行过程中额定热输入时供暖热效率、干烟气中O2体积分数、干烟气中CO体积分数、干烟气中CO2体积分数、干烟气中NOx体积分数及排烟温度6个指标，并随机挑选40个样本进行了相关试验。利用主成分分析法建立了燃气采暖热水炉运行性能评价模型。主成分分析结果显示，基于该方法转换后的3个主成分指标能够代替原来6个指标88.9%的信息量，该方法能够将复杂的信息简单化，且能够获得量化的评价指标，可以应用于燃气采暖热水炉运行性能的定量评价。

② 研究中关注到：考虑到特征向量的非唯一性，应注意软件选取的特征向量是否合适的问题，并给出了验证和确定方法。验证结果显示，SPSS数据分析软件选取的特征向量对文中案例的主成分1、主成分2是合适的，对主成分3是不合适的，应乘以-1后再参与运算。