《高等代数》课程建设的思路

姜文英

摘   要：高等代数是数学科学和一切自然科学最重要的基础之一， 在数学、自然科学、工程技术以至经济人文等领域都有着广泛的应用。从教学内容的处理、教学原则的确定、教学手段的改革和学生能力的训练四个方面阐述了高等代数课程建设的思路和建议。

关键词：高等代数  课程建设  教学内容  教学原则

中图分类号：O15-4                                文献标识码：A                        文章編号：1674-098X（2019）10（b）-0207-02

高等代数是我院数学与应用数学及应用统计学专业的主干课程之一，它是在中学数学基础上的进一步深化和提高，高等代数的理论和方法也是学生学习其他后继相关课程的基础。通过高等代数课程的学习，学生不但可以掌握代数学的基础知识，学会严密的逻辑推理方法，理解数学中常用的数学思想方法，例如公理化方法、同构方法、等价分类方法等，而且还能提高学生的归纳演绎和抽象概括的能力。高等代数是数学科学和一切自然科学最重要的基础之一，该课程的地位与作用日益突出。基于对高等代数课程及教学内容的深入理解，确定了该课程建设的基本思路。

1  教学内容的处理

结合高等代数课程的教学大纲及人才培养方案的规定，考虑学院的应用型人才培养的要求，在教学过程中对高等代数的教学内容进行了适当的调整。对部分内容要进行了顺序调整及重组，符合大学生认识的规律，使内容更方便掌握.在不改变高代内容体系的基础上，可适当降低课程内容的理论难度，考虑将高等代数的过分繁杂的理论推导和一些陈旧内容进行更新和重组。根据不同专业的要求及本院学生的层次和特点， 可对一部分内容作适当删减，精选一些抽象、繁杂的内容问题，制作多媒体课件，可以适当降低课程难度。对于统计专业学生，可适当加入数学软件的应用，让学生课下通过数学软件进行较复杂的代数计算。在不增加内容学时的基础上，要赋予一定的文化内涵，在合适的章节引入数学史的介绍，数学家的事迹，体现数学文化的渗透，培养学生的数学人文素质，注重对素质培养的思想和方法的讲授。由于教材安排的例题习题较少，为了加深学生对代数基本概念及计算方法的掌握，教师要适当补充一部分例题和习题，帮助他们理解教学内容。对于比较抽象的概念和理论，教师可以从具体应用的实例或简单的例子引入，比如线性空间概念的教学，可以从学生熟悉的多项式、矩阵的集合入手讲解，从简单的实例抽象出线性空间的概念，这样学生接受起来更容易，对概念的理解也更深刻.

2  教学原则的确定

在教学过程中，通过与学生的沟通发现，多数学生认为高等代数的内容抽象性比较强，不容易理解和掌握，由于课上听不懂，直接影响了他们学习的积极性，缺少学习的动力。因此在教学中注重贯彻以下原则：（1）知识与思想方法并重的原则，在讲授知识的同时，注意揭示知识的来龙去脉及其中所蕴含的思想方法。例如公理化演绎思想，分类思想等。用代数学的基本思想方法指导教学活动，首先要把握重点。从不同的角度解读重点，以抑扬顿挫的语言来突出重点，用构造习题和考题巩固重点;其次化解难点。用思想的高度理解难点，用详细的语言讲述难点，用分散的方法化解难点。对一些典型方法引导学生归纳总结，比如引导学生总结出矩阵的初等变换方法在线性方程组的求解、向量组的线性相关性的判定、矩阵的秩的计算等方面的应用。（2）体现现代教育理念的原则，在教学中有意识的贯彻认识论或教育学的基本原则。作为大学低年级的入门课程，其理论的阐述应当符合人的认识规律，即由浅入深，从具体到抽象，由形象直观到理性思维。例如，通过分析线性方程组结构的直观上的特点导出向量空间和矩阵及其运算的基本理论，对于向量组线性相关和无关的概念，可以借助齐次线性方程组是否有非零解来导出。给学生安排一些探究性内容，扩宽学生的认知结构，搭建好终身学习所需要的高等代数的基础，反映出现代数学的新观念。（3）返璞归真原则。教学中注重将高等代数与初等数学、几何及其他学科的联系，加强应用性问题教学，尽可能的从实际出发，引入概念，提高学生的综合能力。高等代数的理论知识在数学、自然科学、工程技术以至经济人文等领域都有广泛的应用，在教学中加入一些实际应用的例题是十分必要的，也有助于提高学生学习本课程的积极性和兴趣。比如，可以向学生介绍经济学、线性规划、电路、动力系统及网络流等都与线性方程组紧密相关，计算机图形学，人口统计学，飞机设计，马尔可夫链应用等均用到矩阵的知识等等。（4）体现与时俱进的原则。教师不能一本教材用多年，一本教案用终生。要及时关注学科的新发展，采用国内最新版的教材。把课程的前沿知识、研究现状和发展趋势，及时贯彻到教学过程中，及时更新教学内容，做到常讲常新。

3  教学手段的改革

现在的教学改革注重现代信息技术在教学中的应用，目前我院的教师教学多数采用多媒体课件教学。对于高等代数课程来说，我们对适当利用多媒体持肯定态度，但从教学的实际情况来看的，单纯的依赖多媒体课件教学，并不会取得好的教学效果。首先，本学院的部分学生，其数学基础相对较差。利用多媒体课件教学虽然可以帮助解决教与学上的一些难点问题，从表面上看，似乎教学效率提高了，但往往由于教学“节奏”加快了，学生跟不上上课速度，被动的接受知识，缺少了思考和消化的时间。课件只是把教学内容浓缩到“幻灯片”中去，减少了板书的时间，对于定理的推导不如板书的演示更具体和直接，留给学生思考的时间，课件不能解决内容的难度，也不能降低内容的抽象性。所以，只使用多媒体课件教学，不会获得好的教学效果，甚至教学效果是糟糕的。其次，稍有教学经验的教师都清楚，面对基础较差的学生，教师课堂上的主导作用就越重要。不仅对教师教学的艺术性要求越高，而且更需要师生间的情感互动和情绪间的交流。这都是利用多媒体课件教学所欠缺的。因此，我们应该利用多媒体课件辅助高等代数的教学，而不能起到主导性的作用。适当利用多媒体课件教学是必要的，但要用得恰当适当。现在有些重点大学数学课堂的老师们还是通过粉笔板书的形式进行教学，肯定有他的道理存在。

4  学生能力的训练

高等代数作为重要的一门专业必修课，它是数学在其他学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。通过高等代数的学习，可以使学生了解到代数学最基本的概念，理论和方法，培养学生基本的逻辑思维能力，除此之外，从高等代数课程本身的特点来看，在教学过程中对学生应当贯穿课程始终的还有以下几个方面的训练。（1）代数学基本思想的训练。高度的抽象性和一般性是代数学的特点之一，代数学的一些重要内容，例如线性空间的概念中涉及到的集合的线性运算及其满足的八条运算法则、等价关系等内容，可以采用类比的方法进行讲授，使学生能触类旁通，举一反三。正是由于概括了许多具体的客观事物的共性之后抽象出的非常一般的规律，从而使得代数的理论有着广泛的应用。这种抽象思维的训练，不但在数学各个方向是需要的，在其它学科及实际工作中也都是很重要的，这是提高学生整体素质的一个重要方面。从事抽象思维训练，是代数学的特有的优点，在本课程教学中应当紧紧抓住这一点，使学生初步接受抽象代数学的基本思想，经过代数学基本思想的训练，体现由具体事物抽象出一般概念，再从一般概念回到具体事物的这种辩证观点和严格的逻辑推理方法。使学生理解如何把数学对象抽象为数学结构的思想方法，进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培養其辩证唯物主义观点。（2）代数学基本方法的训练。培养学生在抽象线性空间内处理理论问题的能力，能把较具体的问题如线性方程组、矩阵领域的问题转化为抽象线性空间和线性变换领域的问题来处理;又会把抽象领域的问题具体化（如计算线性变换特征值转化为解代数方程），初步学习抽象代数中普遍使用的基本方法，如行列式的计算方法、线性方程组的求解方法，向量组线性相关性的判定方法、二次型化为标准形的方法等等。

（3）代数基本计算能力的训练。高等代数的教学过程中，有许多重要的计算方法需要学生掌握，比如行列式的计算，线性方程组的求解，求矩阵的秩，求逆矩阵，求线性变换特征值与特征向量，用正交变换化实对称矩阵成对角形等等，经过这些数学计算的训练，提高学生的解题能力及计算能力。（4）综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。在教学中体现代数和其他学科的紧密联系，既体现了代数理论应用的广泛性，又能够培养学生综合运用所学知识解决问题的能力。

参考文献

[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].4版.北京：高等教育出版社，2013.

[2] 高等代数教学工作总结，http：//www.zongjie100.com/arts/316358/.