设置开放探索，形成有效建构——“锐角三角函数”章复习课的设计与启示

☉江苏省苏州学府中学校 朱 静

章复习课，承担着复习全章、建构网络和提升技能的重任.课上，在解答与交流教师精心设计的例题过程中，教师一般会引导学生逐步梳理已经学过的与本章相关的知识，链接形成网络.因而，例题往往成为章复习课的教学重点.因此，例题及其教学过程往往也就成为了章复习课设计的核心.为此，教师一般会从众多经典练习中挑选出与课时匹配的题目进行改编与重组成例题，并为其配上精妙的教学过程.殊不知，在苏科版教材的章尾都有“小结与反思”这一板块，其中看似很少的文本或图形陈述却完全可以为我们的章复习课所用，成就源于教材的精彩建构.本文就以苏科版“锐角三角函数小结与思考”的教学应用为例谈谈章复习的一些做法，供大家参考.

一、教材分析

苏科版教材“锐角三角函数小结与思考”只有很少的篇幅，共包含三个板块：

第1个板块：一幅图（如图1，∠C为直角的Rt△ABC）；基于图形的五个结论：三边关系，锐角关系和边角关系；五个结论的应用价值及解直角三角形的含义等.

第2个板块：简要陈述了锐角三角函数的实际应用.

第3个板块：提出了一个问题：锐角变化时，它的三角函数值是怎样变化的？

如此少的教学内容，我们只有深度挖掘，才能发现其价值所在.细细分析，这三个板块的设计既紧扣本单元的知识，又使学生的认知向前迈出了一步：前两个板块完全是对全章知识的梳理，是对本单元所学的锐角三角函数和解直角三角形相关知识的回顾；第3个板块中的问题则为原本只有“几何味”的正弦、余弦、正切增添了一丝“函数味”，对其的适度探索将有利于学生感知“几何图形中同样存在变量之间的对应及变化关系”.如此瞻前顾后，对后续更加深入学习锐角三角函数显然是十分有益的.

图1

二、教学设计及意图

1.思考

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°.根据给出的条件，你能得出哪些结论？

设计意图：基于条件的开放提问，能激发学生的思维，有效唤醒学生的知识与经验，呈现与所给图形和条件有关的结论.

2.追问

（1）如果只给出∠A的度数，你能求出什么？

（2）如果给出两条边的长，可以求出什么？

（3）如果给出一个锐角、一条边，能求出什么？

设计意图：进一步开放追问，让学生进一步明晰∠C为直角的Rt△ABC的三边关系、锐角关系和边角关系.加上教师在追问中的及时板书，将能很好地让学生掌握的知识呈现出来，为下面的知识网络化奠定重要的基础.

3.探索

学生自主给定一些条件，提一个求边长或角度的问题，并试着求解，然后将给定的条件、提出的问题和求解的过程在小组中交流.

设计意图：继续开放探索，给定适当的条件，让学生提出定向问题（求边或求角），再求解与交流.这样的过程设计，能让学生进一步感知直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系，体会30°、45°、60°锐角三角函数值在解直角三角形过程中的应用.

4.梳理

（1）本单元的知识结构图.

图2

（2）30°、45°、60°的三角函数值表及规律猜想：

表1

设计意图：本环节将对前三个环节进行查漏补缺，将本章的知识结构图和30°、45°、60°的三角函数值表及基于此的规律猜想完善，形成上面的图2和表1.

三、教学设计简析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下称《课程标准（2011年版）》对知识教学提出了“要注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性”的要求，这不仅是数学新授教学的任务，更应成为章复习课的核心任务.本节课是学完“锐角三角函数”后的第一节复习课，课前，学生已经获得了正弦、余弦、正切等三角函数的概念，并能应用这些锐角三角函数解决简单的实际问题，对数形结合、转化等数学思想有了较深的感悟，梳理学生已经学过的知识并建构出知识网络自然应该成为课堂教学的重点.为此，我根据教材安排和学生实际将本节课的教学目标定为：借助一个开放追问，经历全章知识网络的建构过程，了解锐角变化时三角函数值的变化情况，感悟转化思想和模型思想，发展推理能力.根据这样的目标，笔者所呈现的这些问题看似没有具体指向，但所有的问题都在围绕着教材给出的图1、第1个板块和第3个板块进行.事实上，实际教学中，这样的设计在旧知的梳理和网络的建构上确实取得了不错的效果.

四、几点启示

1.用活教材，巧设方案

在数学教学活动中，教材是最重要的工具.就算是复习课，也不能离开教材而“空谈”.作为复习课的一个重要类型，章复习课理应与其他复习课一样依托于教材.“小结与思考”在章尾，是全章的收官，自然应该成为章复习的主要教学内容.在笔者上面的教学设计中，通过对教材给出的图1、第1个板块和第3个板块的深度分析，发现可以从图1入手以开放提问引导学生回顾图形中隐藏的结论，开放追问帮助学生理清结论，开放赋值求直角三角形中的未知元素，进而建构出知识网络，完善好上面的表格，让那些原本零散的知识很好地聚集在一起，为下一步更好地运用夯实了基础.显然，这样的教学方案设计，让教材从教学出发，基于教材，活用教材，原本固化的教材在笔者设计的教学方案中被“活化”，焕发出活力，成为推动学生知识及技能提升最有力的助手.

2.开放探索，激发兴趣

在实际教学中，很多数学问题都是有着明确指向的.这样的问题，学生的思维被固化在一个确定的通道中，思维的广阔性和灵活性很难得到发展.在笔者设计的教学方案中，所有的探索活动都是开放的：开放设问，开放追问，开放赋值与求解……不论是教师提出的问题，还是学生的自主赋值运算，几乎所有活动都不是指向唯一结果的，丰富的探索成果存在于给定（或自加）的条件之下，并不固定，因而，只要成果在适当的范围内，学生都将得到认可.对每一名学生，无论是基础坚实的，还是学有困难的，只要对本单元所学知识有一定的认知，都将在交流中获得话语权，能够参与到教学中来发表见解、提出看法.这些问题难度不大，阐述清晰，每名学生都可以找到回答的切入点，其思维一定会在较短的时间内激活，已有认知结构中的知识与经验自然会被迅速唤醒，成为他们化解问题的有力工具.教学问题的开放、学生思维的发散无形中会推动课堂教学的放开，每名学生的热情与活力都将会被激发，其学习数学的兴趣和自信心必将会随之提升，教学效果逐步走向优良成为必然.

3.适时板书，定格成果

随着现代信息技术的教学应用，很多老师会在教学软件的选择、教学课件的制作与应用上花很多的功夫，而无视课堂教学板书的设计.笔者认为，这样是不妥的.必要的板书，有助于学生的思维与课堂教学同步，有利于学生整体把握教学内容结构.作为重在梳理旧知、建构网络的章复习课，其教学板书设计的作用在某种意义上可能会大于教学课件的设计与应用.因为，板书有定格成果的作用，而随着教学课件的页面翻动，知识网络是很难长时间固定成型的.因此，章复习课中我们务必要重视板书，要对课堂教学的每个环节进行精心设计.要细致确定知识点的书写时点和书写位置，甚至包括用什么样的连接线和什么方向的箭头都要提前规划.只有当我们在适当的时间将知识网络中的每一个知识点写到黑板上，并以线段、箭头、框图等连接在一起时，学生才能真正感受到知识的网络化和技能的体系化.当然，在实际教学中，板书的形式应不局限于上面的图2，还可以有表格、图形、文本及其综合体等.要特别强调，在教学实施过程中，板书时机和板书区域不能机械，应随着学情的发展而适当调整，要根据学生回忆的节奏在时间和空间合理布局，确保板书为学生的学习服务.事实上，很多时候，美好的预设可能会由于学情的偏差而难以达到理想中的状况，这时适当的放弃有时就会成为更好的成全，这种成全完全指向了学生，是再好不过的.

4.注重关联，建构网络

在新知教学中，学生获得的知识是较为单一的，偶有关联，也仅仅是对知识系统的附着，其结构化程度远远达不到复习课的“高度”.在复习课上，学生获得的数学知识将会在应用中不断巩固和深化.因此，当我们组织章复习时，绝不能只盯住单一的知识，而应从教学设计到实施的每一环节都注重知识的关联，实现知识的“抱团发展”.章复习是这种基于知识生成后的建构，它与章节开始的“前建构”是对应的.前建构是基于已有知识与经验之上的猜想，而章复习课呈现的“后建构”则需要将已有单一知识进行有效聚合.因而，在章复习课上，自教学之始，我们就应有明确的建构目标和建构策略.而将已有的知识关联起来应该成为目标的重要内容，如何实现关联则应成为教学策略设计的重点.我们应结合具体的教学内容，找到知识间的生长点和融合点，通过有效的问题，比如，本文中的开放问题，引导学生实现知识的有效链接和巧妙融合.我想，只有基于这样理念之下的设计，对学生的发展或许才是最有效的.