选编习题呼应教材，渐次呈现变式反馈——以“‘角’的再认识”习题课教学为例

☉江苏省苏州市青剑湖学校 高 鹏

我们知道，不少数学核心概念或定理学习之后，往往会跟进一些习题课的训练与讲评，以促进学生全面理解、掌握所学概念，然而不少类似的课例常常是以教辅资料或习题单式的导学案为主要形式进行习题教学，习题课变成“一题接一题”的题海战术.最近，在一次教学研讨活动中，我们选择“角”的习题课作为研讨课题，笔者执教了这节习题课，经过前期精心备课，预设各个教学环节，有效促进学生在课堂上的思维参与，取得了较好的教学效果.本文先梳理该课的教学流程，并阐释对习题课教学的一些思考，供研讨.

一、“角”的再认识复习课概述

活动1：从平角出发

问题1：已知平角∠AOB，分别画出它的角平分线、三等分线.

图1

教学预设：学生画出图形之后，继续追问相应角的度数，并继续作出直角的角平分线，形成图2、图3，以备后续教学使用.

图2

图3

设计意图：从特殊的平角出发，复习角平分线、三等分线，并且得出特殊角度，如直角、45°角、60°角，便于后续教学环节使用.

活动2：研究“双角平分线”

问题2：如图2，点A、O、B在同一直线上，OC⊥AB，OD平分∠BOC，再作∠AOC的平分线OE，求∠DOE的度数.

变式追问1：当∠BOC=82°35′时，求∠AOE的度数.

变式追问2：写出∠COD的补角.

问题3：如图3，射线OC、OD是平角∠AOB的三等分线，分别画出∠AOC、∠BOD的角平分线OE、OF，求∠EOF的度数.

变式追问1：如图4，点A、O、B在同一直线上，∠COD=30°25′30′′，分别画出∠AOC、∠BOD的角平分线OE、OF，求∠EOF的度数.

变式追问2：如图4，点A、O、B在同一直线上，∠COD=α，分别画出∠AOC、∠BOD的角平分线OE、OF，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）.

图4

图5

活动3：深入探究“共顶点双直角”图形

问题4：如图5，一幅三角尺的直角顶点重合在一起，图中哪些角互为余角？图中有哪些角相等？图中哪些角互为补角？

问题5：如图6，一幅三角尺的直角顶点重合在一起，图中哪些角互为补角？图中有哪些角相等？

问题6：小江研究图5后发现一个结论：一个锐角的补角一定比它的余角大90°.请判断“小江的发现”是否正确，并说明理由.

图6

教学组织：学生在这些问题的驱动下深入思考，对熟悉的“共顶点双直角”的基本图形进行多角度思考，提出很多不同角度的问题，有利于学生对所学内容的深刻理解.教学过程中注意先安排学生独立思考，然后小组内交流，再全班展示交流.

活动4：学情反馈

根据本课内容，设计4道习题进行当堂反馈.

（1）计算180°÷5=_______°.

（2）如图7，∠AOB=102°，OC为∠AOB内一条射线，OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，求∠DOE的度数.

图7

图8

（3）如图 8，∠AOC=∠BOD=90°，请指出∠BOC 与∠AOD的数量关系，并说明理由.

（4）如图8，∠AOC=∠BOD=90°，∠BOC=α，分别画出∠AOB、∠COD的角平分线OE、OF，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）.

二、关于习题课教学的四点思考

1.习题课选题要重视“呼应”教材

根据教学观察，当前的习题课教学一个最大的不足就是被所谓教辅资料“绑架”.很多教辅资料“着眼”于全国各地“中考试卷”“模考试卷”“名校试卷”进行选题汇编，使得习题课的教学变成“面向全国”“离开教材”搞习题课教学；这是“突出问题”.我们知道，各地使用教材版本并不一致，各地中考试题、模考试卷、名校试卷中的所谓好题并一定适合本校、本班，备课选题需要理解学情、针对学情是一条重要原则，不可忽视.在上面课例中，我们的选题都是基于教材上的例、习题类型，对“角”这一单元教学过程中出现的高频问题、经典问题进行改编重组，既有效复习近期所学新知，又呼应了教材上的重要例、习题，以变式改编呈现的方式，带领学生进行训练并加深理解.

2.习题课的解题活动追求渐次展开

习题课的备课，在选题之后需要对所选习题进行编排，按由易到难、由简到繁的顺序进行构思，让教学过程如“山水画卷”般渐次展开.更重要的是，各个解题教学活动或环节要注意加强关联，使得不同教学活动之间的过渡更加平滑.在上面课例中，我们从一个平角出发，依次引出一条射线、角平分线、三等分线，在不同教学环节都是针对开课之初得出的这个“基础图形”（或“背景图形”）展开设问，学生在同一个“背景图形”上变式出来的不同问题中，可以更快地聚焦问题本质，以免出现反复切换问题背景，增加背景理解、基本条件理解的“通过”时间，事实上，这也是很多“习题单式”导学案的一大通病.

3.习题课教学小结后跟进当堂反馈

习题课教学小结之后跟进当堂反馈，可以检测学生对习题课教学内容的掌握情况.特别是，认真设计当堂检测的习题也是非常关键的.比如，所设计的习题需要从内容效度上高度贴近本课所学例、习题或“背景图形”，这对于教师的另一项专业基本功（即命题能力）提出了较高的挑战.在这里不妨提及数学教师为什么要努力修炼命题基本功.主要是基于教学设计中的例、习题选取或改编、习题设计中的变式改编或生长拓展，都需要教师有扎实的命题基本功.我们常常看到一些习题课中所选习题都是“原封不动”地下载或复制粘贴而来，内容效度不高、重点偏离十分严重，值得大家反思.如果稍有命题基本功，就可以对教学过程中一些例、习题进行简单改编（改编数字、字母或图形的位置），或者对问题进行强化、弱化（或一般化）的变式拓展，以实现精准反馈学情的检测目标.

4.习题课需要规范步骤与纠正错误

傅种孙先生关于平面几何教学曾有精辟的论述，其中提到的“指示正确、纠正错误”是非常值得学习的教学建议.以“角”习题课教学为例，学生在前面已对“角”的有关概念、表示、大小比较有了初步的理解，但是对这些知识关联起来贯通理解还需要通过必要的习题训练.在习题教学时，有些例题需要由教师来规范几何语句的书写表达，有些则需要课堂教学进程中捕捉学生的书写过程，通过投影进行展示与评析，对于一些错误表述、不严谨的步骤或需要优化的步骤进行纠正或究错，促进学生在几何入门阶段走得更好、更稳.

三、写在后面

习题课教学是各级教学研讨活动中的“薄弱点”，然而在当下的日常教学中，习题课恰恰是占比较多的一类数学课型，这次有机会执教“角”的习题课，也促使自己深入思考习题课该如何教，而不是拿着一本练习册就题讲题.当然，笔者的认识还很初步，期待更多的同行构思并分享习题课的课例，让我们对习题课的教学研究丰富起来、深入下去.