数学实验：扎根于教材，成就于细节*——基于“三角形内角和”验证实验的思考

☉江苏省如皋市石庄镇初级中学 印冬建

数学实验是一种重要的数学学习方式.为了充分发挥数学实验的教学价值，在人教版初中数学教材中，编者安排了很多与课时核心内容相关的数学实验.这些实验一般以“文本+图形+符号”的形式呈现，对学生获取核心知识、形成关键能力是大有益处的.所以，一线教师一般都会十分重视教材所编排的数学实验，并努力落实教者的编排意图，实现教材的教学价值.然而，由于教材呈现数学实验的方式是静态的，对实验细节的描述并不是十分到位，因而，给一线教师的教学实践带来了诸多不便和多种不同的可能.想要很好地贯彻编者的设计意图，就需要教师在深入解读教材的基础上，明晰实验的内容、目标、流程，并完善实验的每一个细节，从而提升实验的成效.在近期执教“11.2.1三角形的内角”时，笔者通过实施精心预设的“三角形内角拼合实验”（下称“拼角实验”），取得了较好的教学效果.现呈现这个实验的历程，并谈一些个人感悟，希望能引发大家的思考.

一、拼角实验

1.梳理旧知，明晰实验基础

教师在黑板上作出△ABC，让学生说出学过的三角形的相关知识.在学生给出“三角形的内角和等于180°”后，教师立即追问：在小学里，我们是怎么发现这个结论的？以此引出“度量或剪拼”的探索方法.接下来，教师通过继续追问让学生明白“度量常常有误差”，“形状不同的三角形有无数个”，想要说明“三角形的内角和等于180°”这一结论是正确的，需要通过推理的方法，借助已经获得的“180°模型”——平角或互补的同旁内角来证明这一结论.

2.合作探究，开展拼角实验

学生活动1：在准备好的三角形纸片顶点处标上字母A、B、C，小组合作，分别撕下∠B和∠C，并将其与∠A拼合在一起.你有什么发现？找出能用前面所学知识证明“三角形的内角和等于180°”的拼图，并将其贴到黑板上.

学生按照要求进行活动，并将探索成果贴到黑板上，如图1、2.

学生活动2：另取一张三角形纸片，与活动1一样进行标注，撕下∠C，将其与∠A（或∠B）拼合在一起.你有什么发现？找出能用前面所学知识证明“三角形的内角和等于180°”的拼图，并将其贴到黑板上.

学生按照要求继续探究，并将成果贴到黑板上，如图3.

图1

图2

图3

图4

图6

图5

根据拼图，学生发现：图1中，∠B和∠C在∠A的左右，三个角合起来是一个平角；图2中，∠B和∠C在∠A的同侧，三个角合起来也是一个平角；图3中，∠C在∠A的右侧，∠C与∠A的和与∠B是互补的同旁内角.

3.抽象交流，归纳实验成果

针对上面图1至图3，教师提出问题：这三幅图中，是否都存在一条与BC平行的线？待学生认真观察并反复分析后，教师引导学生进行了抽象，得到图4、图5、图6.在反复交流了图1中的辅助线的作法和推理过程后，教师安排学生利用图5、图6构造出的辅助线l证明“三角形的内角和等于180°”.在展示了学生给出的推理过程后，教师明确“三角形的内角和等于180°”就是三角形内角和定理，并将其板书.

二、教学分析

关于拼角实验，学生是有过相关的经历的.在小学时，为了获得“三角形的内角和等于180°”这一结论，教师曾让学生撕下三个内角进行拼合.简单的操作，不仅帮助学生获得了直观的结论，还积累下了丰富的实验与抽象经验，这对本节课的探索是十分有利的.为了引入拼角实验，教者让学生先回顾与三角形有关的结论，引出“三角形的内角和等于180°”，在梳理了小学中获得这一结论的方法后，通过简要的追问让学生体会到基于简单操作生成的结论可能存在偏差，需要严格推理验证后方可推广应用.

接下来，便是对学生已获得的“三角形的内角和等于180°”的进一步探索与验证.教者基于撕下角的个数的不同安排了两个学生活动，活动1是撕下两个角进行拼合，生成了两个“能用前面所学知识证明的拼图”——图1和图2；活动2是撕下一个角进行的拼合，经学生主动筛选，给出了符合要求的图3.在拼角过程中，学生既需要调取小学中积累的经验来拼图，又需要应用初中阶段获得的知识来筛选，难度自然不小.为此，教者在安排自主实验的同时，还借力于小组合作，学生的探索与小组的交流，与之相关的“四基”提前进入学生脑海，这给后续拼图的数学化铺平了道路.

为了归纳实验成果，教师首先提出问题“这三幅图中，是否都存在一条与BC平行的线”，先期的铺垫在此时发挥了巨大的作用，学生不仅顺利发现了平行线，还将拼图迅速抽象，得到可以用来推证结论的图4至图6.为了发展学生的推理能力，教者考虑到学生推理论证的经历较少，在学生对图4和图5进行独立推理前，结合图3给出了推理范式以便学生“临摹”与“仿写”，而教者对学生推理过程的展示，矫正了学生的典型失误，多样的证明方法和与之匹配的不同推理历程激活了学生的思维，也让结论的一般性得到了全体学生的认同，结论的归纳成为了教学的自然产物，顺利而有效.

三、几点感悟

1.解读学段教材，理清实验基础

作为学生获得数学核心知识的一种重要手段，数学实验一般镶嵌于教学进程之中，与知识的生成和发展同步.因此，为了能最大限度地发挥数学实验的教学价值，我们应详细解读学段教材，厘清知识的生长脉络，确定数学实验出现的最佳时点.一般地，数学实验都应出现在承上启下的关键节点上.“承上”，意指对学生已有知识的继承.为了获得较好的实验效果，我们必须从学段教材的知识分布入手，对学生的已有知识进行系统梳理，以确定数学实验的“生长点”和“延伸点”.以本文中的拼角实验为例，它出现在八年级上册“三角形”一章教材中.在人教版本学段教材中，已经安排了几何图形初步、相交线与平行线等以几何知识为主体的单元，这些单元所积累下的几何知识和活动经验将成为本实验开展的基础.加之学生在小学中就已经获得了“三角形的内角和等于180°”的结论，因此，在教学中，教师对结论的提取和探究基础的追问，很好地唤醒了学生的知识——“180°模型”——平角或互补的同旁内角和相关的基本活动经验.这一切，本课时的教材并没有明晰，完全依赖于教者对学段教材的整体解读，也正是教师的提前介入和有效铺垫，才保证了接下来的实验探究能够在理论与实践的密切配合中顺利展开.

2.关注配套用书，明确实验定位

人教版初中数学教材每一册教科书，都有与之配套的《教师教学用书》（下称《教学用书》）.这些配套《教学用书》，全方位展示了教材编者的设计意图.仔细阅读，将会有利于教师给出课堂教学的准确定位.因此，很多教师进行教学设计时，都会将《教学用书》与教材对照阅读.毋庸置疑，这种对照阅读对数学实验同样是有用的，我们将会从教者的意图陈述中确定实验的定位，确保即将实施的数学实验不被人为“放大”导致“无法收场”.对于本文中的拼角实验，图1是学生在实验中极易给出的结果，移动后的∠B和∠C均有一条边平行于边BC，根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，这两条与BC平行的边在同一条直线上，这样的推理过程所用到的都是学生学过的知识，如果给予学生足够的时间，学生还是可能给出的.然而，一旦实验定位在上述推理过程的获得上，本节课的教学重心就已经发生了明显偏移.为了避免一线教师“误解”教材，《教学用书》给出图1的教学定位是“学生只需要通过观察（图1）发现直线l（如图4），并且知道l∥BC就可以了”，这显然也应该成为我们所开展的拼角实验的定位.在笔者所设计与实施的拼角实验中，问题“这三幅图中，是否都存在一条与BC平行的线”的提出，引导学生从图1至图3中发现直线l，并从中抽象出图4至图6.这样的教学历程，让教材编者的定位设想转变为实实在在的实验定位，让拼角实验应有的价值得以发挥，推动学生在现有“四基”基础上获得发展.

3.分析课时任务，梳理实验流程

人教版教材所编排的数学实验，一般与教学内容是融合在一起的.因而，数学实验的使用自然也就应与课时任务的落实同步.对融合在课时教材中的数学实验，在解读其所在的单节教材时，我们应梳理出实验的具体流程，把实验需要经历的基本环节和每一环节的基本任务从教材中提取出来，以简明扼要的文本呈现在学生的学习过程中，以便学生能准确把握每个环节的探索任务.对实验流程的梳理，笔者认为既可以与教材预设的流程同步，也可以根据教情或学情进行相应的调整.回到本文中的拼角实验，教材用一页半的版面陈述了与实验相关的内容，包含了实验的起点、探究的任务、有用的生成和成果的抽象等，这些内容虽然按照一定的顺序呈现在教材中，但由于没有明确的分界，学生是较难从中捕获关键信息的.因而，笔者在教材分析时，将教材内容进行了分割：教材第11页文本的第一、二段，归入到“梳理旧知，明晰实验基础”环节；“探究”及其成果（图11.2-1，略），纳入到“合作探究，开展拼角实验”环节；教材第11页最后两段至第12页定理，纳入到“抽象交流，归纳实验成果”环节.由于教材的编排与学生认知规律基本吻合，因而，在设计这则数学实验时，笔者完全遵循了教材安排的流程，并将教材呈现的教学任务全部作为本课时的教学任务.

4.打磨实验细节，完善课堂教学

数学实验的开展一般离不开学生的自主操作与合作交流，因而，学生理应成为实验的主体.学生在认知水平和操作能力上存在一定的差异，这种差异不仅会体现在数学实验的进程中，还会体现在数学实验的成果上.为了尽最大可能减少因教师陈述或文本展示等客观因素引发的实验进程与结果的差异，教师在实验前应对实验的每一个细节精心打磨，给学生提供不易产生歧义的文本资料、实验方案及教具和学具等.本文所述的拼角实验，生成图1前，教材给出的是“将它的内角剪下来”，这里的“剪”得到的极有可能是一个含∠B或∠C的“三角形”，而非是图1中的有“花边”的∠B、∠C，将剪得的“三角形”拼到∠A的旁边难免会放错“角”，出现非教者预期的实验结果，导致探索失败.此外，为了让实验真正建立在学生的认知基础之上，笔者在教材预设的实验方案外，新增了“撕下∠C，将其与∠A（或∠B）拼合在一起”的探究活动，最终生成的图3及由此抽象出的图6，让学生已有的“互补的同旁内角”模型在验证“三角形的内角和等于180°”中发挥了巨大的作用.这些有别于原教材的调整，会让教师教学和学生实验的流程更严谨，内容更丰富，对全面提升学生的数学素养无疑是锦上添花之举.如此设计，也必将为一线提供很好的参考.