半线性带阻尼波动方程的间断有限体积元方法

陈凡

(枣庄学院数学与统计学院，山东枣庄 277160)

0 引言

考虑半线性带阻尼波动方程的初边值问题

其中Ω⊂R2为有界区域，方程(1)带有阻尼项▽·(b(x)▽ut)，它出自粘弹性理论，例如在地震勘探时，分析人工震源的传播需要经过地球这一粘弹性介质，u(x,t)是满足(1a)的震动位移，其中a(x)为弹性系数，b(x)为沾弹性系数.假设

(I)a(x),b(x)为光滑有界函数，存在常数a0,a1,b0,b1,使得

0

(II)f(x,t,u,ut)有界，满足Lipschitz连续条件，φ(x),ψ(x)为Ω上的光滑函数.

这些方程的正则性理论在[1]中，有限元方法在[2]中，本文利用间断有限体积元方法分析这类问题，得到了最优L2模和H1的误差估计.

1 半离散格式

图1 原始与对偶剖分

定义Th上的试探函数空间

Uh={uh∈L2(Ω):uh|k∈P1(K),∀K∈Th},

其中Pl表示定义在K(T)上的度数小于等于l(l=0,1)的多项式集合.

其中he表示K的边e的长度.

记所有K的边界集合为Γ,Γ0=Γ∂Ω.设e=∂K1∩∂K2,则在边e上定义的均值和跃度为，

显然可以得到结论

(2)

在(1a)式两端同乘vh∈Vh,在对偶单元上积分，由Green公式有

(3)

其中u(0),ut(0)∈Vh.

由(2)式，并注意到[a(x)▽u]|e=0,[b(x)▽ut]|e=0,e∈Γ0，所以有

(4)

定义双线性形式

(5)

则问题(1)的半离散间断有限体积元格式为：求uh:[0,T]→Uh使得

(6)

双线性形式定义如下

其中惩罚性α的定义同文献[3].由于u是(1)的解，则[rhu]|e=0,[rhut]|e=0,故有

A(u,rhvh)=a(u,rhvh)，B(ut,rhvh)=b(ut,rhvh).

2 一些引理

引理1[3]存在与h无关的正常数C，使得

(7)

引理2[3]对∀uh,vh∈Uh,使得

(8)

引理3[5]存在与无关的正常数C1,C2，使得

(9)

引理4[3]算子γh关于L2内积是自伴的，(uh,γhvh) = (vh,γhuh)，并定义

(10)

引理5[4]存在与h无关的正常数C，使得

(11)

3 半离散格式误差分析

引入u的Ritz投影[5]：Rh(u),[0,T]→Uh,满足

A(u-Rhu,rhvh)+B(ut-Rhut,rhvh)=0,∀vh∈Uh.

(12)

并且有下列结论

‖u-Rhu‖≤Ch2‖uτ‖3,

(13)

‖(u-Rhu)t‖≤Ch2(‖u‖3+‖ut‖3)，

(14)

‖(u-Rhu)tt‖≤Ch2(‖utt‖3+‖ut‖3+‖u‖3),

(15)

(16)

(17)

(18)

证明：记ρ=u-Rhu,θ=Rhu-uh,(4)与(7)相减，得误差方程

+(f(u,ut)-f(uh,uht),γhvh)

(19)

取vh=θt,则有

=J1+J2+J3+J4.

(20)

利用Holder不等式，ε不等式，引理2、3、4、5，得(20)右端各项估计如下

则(20)式可改写成

(21)

(21)式两边关于t积分，整理可得

(22)

根据引理1，及θ(0)=0,θt(0)=0，可得

(23)

再由Gronwall引理和(13)式，开方得

(24)

(25)

根据定义Ritz投影，由(13)可得，

(26)

由(26)、(24)、三角不等式，得证结论

同理可得证式(18)成立.