矿产资源最优开采问题研究——环境约束、后备替代与Hotelling法则

仓定帮 魏晓平 曹明

一、引言

矿产资源是经济发展和社会进步的重要物质基础，其最主要的特点是具有不可再生性。如何对矿产资源进行最优开采,实现代际均衡，促进可持续发展一直是能源经济学研究的重要内容。1931 年美国数理经济学家Hotelling发表了《可耗竭资源经济学》[1]一文，讨论了在完全竞争条件下耗竭资源的最优利用问题，理论上说明要使得矿产资源的社会价值达到最大，该耗竭资源的净价格增长速度等于社会效益贴现率,即著名的“Hotelling” 法则。该文被视作能源经济学诞生的标志。

但是此后长达40 年的时间里，很少再有学者对该问题做深入研究。直到20世纪七八十年代全球范围的石油危机和环境恶化等问题日益突出，掀起了能源经济研究的热潮，推动了耗竭资源的最优配置理论的新发展，研究内容涉及市场类型、资源的储量、资源税等因素[2-14]。

Hotelling法则对研究资源最优开采有很大的借鉴作用，但是在实际问题中发现，资源开采可能并不满足Hotelling法则。其中一个原因是矿产资源开采外部性的影响没有被考虑在内。魏晓平等(2013)[15]建立了相关计量模型，结果显示我国的矿产资源的供给和价格指数相关性不显著，与Hotelling法则不吻合，并指明主要原因是外部性造成的非市场因素没有体现在模型中。

外部性又称为溢出效应、外部影响等，指一个人或一群人的行动和决策使另一个人或一群人受损或受益的情况，分为负外部性和正外部性。外部性问题是矿产资源最优配置理论研究中的一个重要方面，主要包括储量外部性、环境外部性和代际外部性。储量外部性主要指矿产资源是典型的可耗竭资源，储量必将越来越少，稀缺性程度将越来越高，从而产生代际公平问题；环境外部性是指矿产资源在生产利用过程中会造成环境污染，形成负效用；代际外部性指如何能够在现代人和后代人之间进行资源分配，不影响后代人的福利。

为了解决资源使用过程中出现的代际公平和环境污染问题，本文拟在资源开采中纳入环境约束与后备替代因素，建立相关数学模型，给出资源开采的最优路径，拓展Hotelling法则的应用范围。

二、Hotelling模型与后备替代

假设t时刻的资源价格为p(t)，资源的开采量为q(t)，资源的储量记为S(t)。边际开采成本假设为c，ρ为贴现率。理性的社会决策者要选择最优的开采路径使得收益的现值最大化，即有下面的最优化问题:

求解该优化问题，构造现值Hamilton函数如下:

H(t)=U(q(t))-cq(t)-λq(t)

其中λ是资源的影子价格，也称为资源租。据最优化理论,最优化条件为:

计算可知U′(q(t))=c+λ0eρt，λ0为初始值，与资源储量有关。

在上式中若定义资源的价格p(t)=U′(q(t))，则有p(t)=c+λ0eρt,即矿产资源价格增长的速度等于贴现率，此为Hotelling法则。资源价格变化路径如图1。

图1 资源的价格变化路径(Hotelling)

若市场上后备替代技术(可再生资源)的单位开采成本为常数cr，显然当矿产资源的价格高于cr时，可再生资源进入市场，实现完全能源替代，此时资源的价格变化可由图2表示。

图2 资源的价格变化路径

下面通过数值模拟说明矿产资源成本、后备替代成本、贴现率及矿产资源初始储量对矿产资源的影子价格和替代时间的影响。Tahvonen(1996)[16]将效用函数设为二次函数形式，本文类似设为U(q)=aq-bq2，相关参数的取值为：a=800，b=40，c=100，cr=140，ρ=0.03，S0=1 000。计算得到T=116.59，λ0=1.51，进一步进行灵敏度分析，得到表1中的结果。

表1灵敏度分析结果

从上表的结果可以发现，相关参数变动正负5%后，四个参数中对替代节点影响最小的是贴现率，最大的是资源的初始储量，后备替代成本对替代节点的影响程度要小于矿产资源的成本，但是对资源的影子价格的影响要高于矿产资源的成本。贴现率越低，替代节点越延迟，后备替代成本和矿产资源成本越低则替代节点越提前。

三、环境约束下能源开采问题研究

构造Hamilton函数为：

H1(Z,S)=U(q,y)-cq+μ1(kq-θZ)-λ1q

(1)

U′(q)-c+μ1k-λ1=0

(2)

(3)

(4)

由条件(4)可得μ1=μ10e(ρ+θ)t。其中λ10、μ10表示变量的初始值，与资源的储量及污染的阈值密切相关。

图3 资源的价格变化路径

图3中资源的价格完全按照Hotelling规制进行变动，当价格达到cr时，后备技术进入市场。这段时间记为ΔtH，上标H表示Hotelling路径，在此过程中消费的资源总量记为S=SH。

图4 资源的价格变化路径

图5 污染存量的变化路径

表2灵敏度分析结果

从上面结果可以看出，环境阈值与能源总量控制的时间呈反向变动关系，环境阈值越大，能源总量控制时间越短。环境阈值与环境规制强度密切相关。现实中环境规制强度越高，能源消费总量控制的时间应该越长。另外，资源储量与两个时间节点呈正向变动关系，说明可用储量越大，能源消费总量控制时间越长，替代节点越延后。现实中，如果后备替代能力不足，则应该加大矿产资源间的相互替代能力，为后备规模替代提供时间保障。另外，技术进步可以有效地降低单位资源消耗产生的污染，技术进步程度越高，k值越小，总量控制的时间和替代到达的时间越短。

图6 资源价格的变化路径图

图7 污染存量的变化路径图

四、开放经济下能源开采问题研究

对于储量外部性问题，可通过能源替代缓解资源稀缺问题，其中能源进口是常用手段之一，比如我国的石油对外依存度已经超过了68%。本节研究在开放经济条件下，存在能源进口时，资源价格的变化路径，采用博弈方法进行分析。

博弈分析经常被用于分析能源市场的均衡。Salant(1976)[17]假设市场由一个占统治地位的企业和其他若干个完全竞争的边缘企业构成。在不考虑开采成本的前提下给出了企业开采行为的均衡结果。该文说明了均衡开采路径由两个阶段构成。在第一阶段,耗竭资源的价格以市场率上升。在第二阶段，市场上只剩下占统治地位的企业,并且该企业的边际收益在两个时间段是相同的。Ulph和Folie(1980)[18]对Salant的模型加以改进,在模型中考虑了不变的边际开采成本。Gilber(1978)[19]考虑了市场存在卡特尔和边缘企业的情况，并认为卡特尔在市场中处于领导者地位，而边缘企业处于从属者地位，卡特尔先做出决策,而边缘企业根据卡特尔的决策决定自己的行为。Loury(1986)[20]研究了市场中存在N个寡头垄断的情况,给出了各个主体的最优开采路径。Lewis(1980)[21]考虑了企业的开采成本不同的情形。结果显示，在开放的纳什均衡中低成本的储量不会先被耗竭。Polasky(1992)[22]假设资源开采市场由两个企业群组构成，同组之间的企业类型相同，不同组之间企业的边际成本和储量不同，得到的一个有趣的结果是低成本的储量可能不会被首先耗竭，而转向高成本开采的企业数量却会越来越多。Long和Soubeyran (1998)[23]指出高成本的企业会有动机去增加市场份额,从而导致资源配置的无效率和社会福利的损失。

用qi=qi(t)、q=q(t)分别表示矿产资源的进口量与国内开采量。pi=pi(t)表示进口国际市场资源的价格，因国内资源与进口资源属于替代品，所以可设国内市场的需求价格函数为pi=a1-b1q-dqi。假设能源出口国有定价权，在市场中处于领导者(leader)位置，进口国为跟随者(follower)，下面研究两者的Stackelberg 反馈博弈均衡。

假设国内环境污染未达到阈值，不考虑国内储量的影响，资源进口国面临的优化问题为：

-piqi}e-ρ1tdt

其中，ρ1为贴现率，S(t)为国内资源存量。求解问题2，构造Hamilton函数为：

H2(Z,S)=U(qi+q)-cq-piqi+μ2(k1qi+k2q)

(5)

U′(qi+q)-c+bqi+μ2k2=0

(6)

(7)

通过表达式(6)可确定隐函数：

q=f(qi,μ2)

(8)

此即为国内资源开采量对进口量的最优反应，若令国内资源价格为：

p=U′(qi+q)=c-b1qi-μ2k2

此时资源的价格受到三个因素影响：开采成本，环境外部性及进口量，且

pi=a1-b1f(qi,μ2)-cqi

(9)

再分析资源出口国行为，不考虑资源出口国国内的能源消费问题，其单位开采成本为h>0。资源出口国面临如下优化问题：

其中，ρ2为贴现率，N(t)为国内资源存量。求解问题3，构造Hamilton函数为：

H3(Z,S)=(a1-b1f(qi,μ2)-dqi)qi-hqi-λ3qi

(10)

(11)

其中λ30为λ3的初始值。式(9)～式(11)构成了一个动态微分博弈系统，刻画了资源国内产量与进口量的动态变化，再据p=U′(qi+q)及pi=a1-b1q-dqi可以得到国内资源价格和国外资源价格的变化路径。

1.特殊效用函数下的资源价格变化路径。

假设效用函数为二次函数形式，表达式为：

U(qi+q)=A(qi+q)-B(qi+q)2

(12)

设问题2的Hamilton-Jacobi-Bellman方程为：

(13)

(14)

(15)

+B3+C3S)

(16)

此即为进口量对污染和国外储量的最优反应函数。V3(S,N)中的系数可将式(16)代入式(15)中采用待定系数法求得。

2.环境达到阈值资源开采路径分析。

(17)

再求解问题3，其Hamilton函数为：

最优性条件为：

(18)

(19)

由式(18)得到最优进口量及国内产量为：

(20)

(21)

五、一个贴现率的选择方法

在上面的分析中可知，贴现率是Hotelling法则的重心，贴现率取值的大小实际上反映了当代人如何看待后代人的利益。因此贴现率的取值关系到后代人的福利，涉及代际公平问题。贴现率越小，越看重后代人的利益。虽然矿产资源是典型的耗竭资源，当代人用得多，后代人就用得少，但是后代人利用后备替代技术的机会要大于当代人，所以在考虑资源的跨期配置的时候应该把后备资源替代因素考虑在内。下面部分在考虑能源替代的基础上给出了一个贴现率的选择方法。

(22)

λ0=ρ(A-c)-(cr-c)-2BρS0

(23)

(24)

(25)

六、结论

本文在经典Hotelling模型的基础上，讨论了储量、环境、代际公平等非市场因素的约束下矿产资源的最优开采路径，拓展了 Hotelling法则的应用范围，以期能够更贴近实际。结果发现：考虑后备资源替代时，资源的价格增长以后备替代资源价格为上限；考虑污染存量限制时，价格只是在某个时间段中符合Hotelling法则；在开放经济条件下，国内外资源价格变化更加复杂，均衡价格的水平受到进口国的环境污染水平及出口国资源存量水平的影响,当国内环境达到阈值时，国内外资源价格变化遵循Hotelling法则，变化率为资源出口国贴现率。文中最后将替代因素考虑在内，给出一种贴现率的选择方法。

矿产资源最优开采是一个复杂系统工程，涉及的宏观因素、微观变量较多，完全模拟矿产资源价格变化路径也存在很多困难，本文对技术进步、环境规制等考虑不够深入，这将是今后的研究方向。另外本文以理论分析为主，今后需要进一步进行实证分析，提高模型的实际指导意义。