高中数学中圆锥曲线的性质及推广应用

任志新

摘 要：古希腊亚历山大时期的数学家阿波罗尼奥斯，就利用平面截取一个对顶的圆锥，根据在平面的不同位置，可分别得出双曲线、椭圆和抛物线;当两个底面都与平面相交的时候，在圆锥的侧面就可得到双曲线;当底面和平面都没有相交的时候，在圆锥的侧面得到的就是椭圆，特殊的时候就是与对顶圆锥底面平行的时候得到的就是圆;而当平面与对顶圆锥一个底面相交的时候，在圆锥的侧面得到的就会是抛物线了。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫二次曲线。圆锥曲线是几何学研究的重要课题之一，也是中学数学核心内容之一，解决几何题的方法是数形结合。本文在此基础上简单的概括并分析圆锥曲线的性质，对其基本性质进行阐述，并探讨圆锥曲线的推广应用。

关键词：高中数学;圆锥曲线;基本性质;推广應用

圆锥曲线是解析几何的重要内容，其对于几何问题的研究却是利用代数的解题方法。而且，对于高中生来说，圆锥曲线的性质掌握及其推广应用是目前我国高考数学的重点考查内容。从更深层次来讲，加强对于圆锥曲线分类与性质的研究，在一定程度上可以帮助学生打开解题思路、提高解题技巧，同时培养学生以数学思维能力、创新能力为代表的综合能力。因此，为了使学生能够更好地掌握圆锥曲线的性质及其的推广应用，且进一步提高学生的数学学习素质，作为高中数学教师的我们，就要积极探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，注重对学生圆锥曲线性质及其推广应用的教学。

一、高中数学中圆锥曲线的难点

1.理解并掌握圆锥曲线的基本概念、标准方程及其简单的基本性质。

2.熟练掌握圆锥曲线的性质及与直线、圆锥曲线的关系，构建良好的知识网络，提高分析、解决问题的能力。

3.圆锥曲线的概念、性质、方程等基础知识稳中求活，稳中求新，常涉及的有：方程、几何特征值（a，b，c，p，e）、直线与圆锥曲线问题。

二、圆锥曲线的分类以及定义

一般来说，数学中将圆锥曲线的定义概述为：平面上，一个定点到一条定直线的距离之比为常数（e）的动点的轨迹。并且根据常数e的取值将圆锥曲线分为椭圆（e1）、抛物线（e=1）。有关圆锥曲线的研究又来已久，古希腊的数学家就曾对圆锥曲线进行过系统研究。例如：阿波罗尼尝试采用平面切割圆锥的方法得到各种圆锥曲线，即，使用与锥轴垂直的平面截断圆锥可得到圆;将平面稍微倾斜可得到椭圆;平面倾斜幅度大一些即可得到双曲线;平面与圆锥母线平行时可得到抛物线。因此，阿波罗尼曾经将椭圆称为“亏曲线”、双曲线为“超曲线”，抛物线为“齐曲线”。现代数学的发展使得人们对圆锥曲线的研究脱离了直观的几何图形，而是采用直角坐标系建立每个图形的数学方程，使得圆锥曲线真正实现数形结合。按照方程思想我们可以将圆锥曲线分为三大类，例如：到两个定点（F1、F2）的距离之和为定值（2a）的一条曲线轨迹为椭圆;到两个定点距离之差绝对值为定值（2a）的一条曲线轨迹为双曲线;定点与直线距离相等的点的轨迹为抛物线。对此我们可以将椭圆、双曲线、抛物线的方程分别表示为：椭圆：（a>b>0）;双曲线：（a>0，b>0）;抛物线：y2=2px。总体来看，圆锥曲线主要包括圆、椭圆、双曲线以及抛物线四种，虽然这四种曲线有很多不同之处，但是仍然有很多相似之处。对此，教师在教学工作中要重点向学生讲解以上曲线的联系及不同点，从而使学生准确把握曲线的性质，进而为在实践中灵活运用圆锥曲线奠定基础。

三、关于圆锥曲线三点性质的推广应用

1.椭圆的应用。光学特性：光线从椭圆的一个焦点发出，通过椭圆的反射，放射光线交汇于椭圆的另一个焦点上。我们去电影院观看电影时会发现，电影放映机上聚光灯泡的反射镜上面的轴截面是椭圆形的，这正是利用了椭圆的光学特性，计算好灯泡和电影胶片的距离就能获得最强的光线，让观看达到最好的效果。

2.抛物线的应用。手电筒：手电筒里的小灯泡后面有一个镜面呈抛物线形状的反光镜。对于抛物线来说，从焦点发出的光，通过抛物面的反射，反射光线会与抛物线的对称轴相平行，这样我们就能够在晚上利用手电筒看清周围的东西。

3.双曲线的应用。冷却塔：火电厂和核电站里的通风冷却塔的建立是为了节约水资源，从冷却器排出的热水在冷却塔中冷却后被循环利用。大型电厂的冷却塔多是采用双曲线型.双曲线型冷却塔占地面积较小，它的冷却效果不受风力的影响，因此，水量损失小。双曲线型冷却塔关于电能方面的节约也是非常大的。

四、结语

圆锥曲线在历年高考中都会出现，其涉及的题型范围也很广泛，且分值都较高。但是学生在圆锥曲线上没有太多的解题技巧，解题思路往往也会受到自身的限制。这就要求作为高中数学教师的我们，加强学生对于圆锥曲线的基本性质的理解与掌握，而且我们要在教学之余加深对圆锥曲线的研究，利用其基本性质进行推广，得到多种推广性推理定理，从而提高学生的解题技巧、扩展学生的数学思维。高中数学中圆锥曲线教学是一项艰巨的任务，学生在学习的过程中也会出现很多困难，影响数学教学质量的提高和学生综合素质的提升。为了解决学生的困扰，教师在教高中数学圆锥曲线这一部分内容时，应该充分调动学生的学习积极性，采用正确的教学方式促进学生学习，创新教学理念，进而从方方面面提升高中数学的教学质量，促进学生能力的全方面提升，为社会和国家培养出更多的人才。

参考文献：

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