“平均数”的含义与教学

刘向彬

数学课程标准指出平均数的教学要从“算法理解、概念理解、统计理解”三个方面来引导学生理解平均数，尤其要重视平均数统计意义的理解，即发展学生数据分析观念，使他们能够在具体情境中能想到用平均数，愿意用平均数来刻画数据.面对这个抽象的数学概念，该如何在教学中让“平均数”的形象鲜活起来？让学生能够理解它的意义，真正和“平均数”交上好朋友呢？用心思考后有了这样的一些不成熟的想法，与大家共享.

一、情境中诱发认知冲突：平均数是机会不对等时“挺身而出”的公平公正的数

很多教师在执教“平均数”时，会设计两队pk时人数不等的虚拟游戏情境，目的是引发学生的认知冲突——比总数不公平，感知“平均数”产生的必要.其实，在学生们身边就有这样真实的情境—竞赛成绩和期末质量检测成绩.我们可以先出示本年级每班数学竞赛总成绩及参赛人数（每班20人），提出问题：“你能快速给参赛班级排排序吗？”第二次，出示各班期末测试总成绩及每班人数（人数不同）.“此时，只比较总成绩行吗？”“当学生人数不对等时，再来比总成绩就不公平了，该怎样对期末测试成绩进行排序呢？”揭示课题：这个“平均成绩”就是我们今天要认识的新朋友——平均数.它是机会不对等时“挺身而出”帮助大家的公平公正的数，从而激起学生学习新知的欲望.

二、移一移中直观感悟：平均数是“匀乎”出来的代表“整体水平”的虚拟的数

人教版教材中例1是个“平均分”的问题，孩子们完全有能力凭借已有认知经验，通过算一算或移一移的方法，得出“平均每人收集13个塑料瓶”.这一问题的设计沟通了“平均数”与原来曾经学过的“平均分”之间的联系，让孩子们对“平均数”这个新朋友有了进一步的了解.原来“平均数”并不陌生，它就是那个平均分后每份同样多的“每份数”.进而，通过“移一移”的方法，通过教师追问：平均每人收集13个，是不是每人就收集13个？学生借助图示中的“竖虚线”，直观感知“平均数”在这里是将总数平均分后得到的数，所以，它并不是真实存在的，是个虚拟的数据.“13个”虽然不是每个人实际收集的个数，但“13个”可以代表这个小组孩子们收集塑料瓶的整体水平——相当于每人收集13个.此问题的设计及处理让学生深刻感悟了“平均数”的意义及计算的道理.

三、问题解决中深刻感受，平均数是虽“隐身”但“力大无穷”的有实用价值的数

教材中例2是“踢毽子比赛”，我们可以将静态比赛场景“动”起来，在动态变化中深刻感悟平均数.教师可以这样设计：“操场上四（一）班的孩子们正在进行男女生踢毽子比赛，要求每队派出5名队员.瞧，1号选手出场，男队、女队分别踢出19个、18个的好成绩，一个之差，好悬！2，3，4号也依次对赛完毕，男、女队的成绩分别是15，16，22和20，19，19.现在，你能预测一下哪个队会胜吗？”学生在练习本上写出预测的依据：有的算出总数，有的算出平均数，还有的学生一对一对比较.在方法汇报评价中，让孩子们感悟人数对等，既可以比总數，也可以比平均数，而一对一PK有一定的局限性.接着，请孩子们做出预测：哪个队会胜？一定吗？为什么？最后为了巩固平均数的意义及算理，可以追问：“男生5号到场，踢13个;女生5号缺席.”制造无法比总数，只能比平均数的情况.“假如5号女生没缺席，你能根据现在男女生踢毽子的平均数，推测一下，5号女生只要踢几下就一定能赢吗？男队有没有赢的可能？”让学生在体会平均数意义的过程中初步体会数据的随机性.

当然，平均数的实用价值更多的应该通过呈现生活中的数据信息，让孩子感受平均数的“无处不在”.比如，呈现“北京六岁以下儿童乘车免票线由1.1米到1.2米”，让孩子们体会到平均数在国家政策方面做出调整的重大作用，凸显平均数的“力大无穷”.

四、推理验证中对比发现，平均数是容易受“极端数据”影响的不够完美的数

在统计中，平均数的优点是能充分利用所有数据的信息刻画一组数据的集中趋势，但它也有自身的特点——容易受极端数据的影响.怎样让孩子们深刻理解平均数的这种特点，进而避免一看到含有平均数的信息，就容易忽略极端数据而做出错误的判断.我想可以在练习中设计一个生活问题——选拔运动员，即从两人中选择一位参加比赛.出示两组数据：一人平均成绩稍高一些，但很不稳定;另一人平均成绩稍低一些，但很稳定.你会选谁？为什么？此问题的设计可以让学生感受平均数的作用，提前预知单凭平均数做出判断所带来的“风险性”，提高学生对一组数据的“领悟水平”.原来平均数虽是比较公平公正的数，但也会遇到无法完美解决的问题.

由“公平公正”到“力大无穷”，由“价值不菲”到“不够完美”，平均数的教学不再仅仅是传统意义上计算方法的理解，加强平均数在统计意义上理解的做法，能够激起学生强烈的求知欲望，让学生领略到每一个数学知识产生的必要及它所拥有的神奇魅力，同时也让学生深刻感受到每一个知识都有“欠缺之处”，都需要一种新的知识来“弥补不足”，进而助力孩子朝着浩瀚数学知识的海洋遨游.