速率时间图像的认识与应用

李虎

描述物理规律的方式主要有三种，一是文字描述;二是公式描述;三是图像描述。其中，图像描述具有形象直观的特点，应用于定性分析判断的问题较为方便。描述运动规律的图像主要有速度时间图像（v- t）、位置时刻图像（x- t）和加速度时刻图像（a- t）等，可以较好地描述直线运动或者是可分解为直线运动的曲线运动，但对于折线运动或一般的曲线运动就会出现困难，此时恰当应用速率时间图像，将会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之感。

一、速率时间图像与速度时间图像的比较

二、速率时间图像的应用

在近几年的高考试题中，出现了利用速率—时间图像解决问题的试题，现进行梳理如下，加以赏析。

1.（2012·海南卷）如图1所示，表面处处同样粗糙的楔形木块abc固定在水平地面上，ab面和bc面与地面的夹角分别为α和β，且α>β，一初速度为v0的小物块沿斜面ab向上运动，经时间t0后到达顶点b时，速度刚好为零;然后让小物块立即从静止开始沿斜面bc下滑. 在小物块从a运动到c的过程中，可能正确描述其速度大小v与时间t的关系的图像是

解析：此题采用排除法。先沿斜面向上匀减速运动，再沿右侧斜面向下匀加速运动，整个过程速率先随时间均匀减小再随时间均匀增大，故速率时间图像应该为折线，D选项错误;整个过程中，摩擦力总是做负功，物块运动到c的动能相对a要小，故到c的速率相对a要小，A选项错误。从a→c相对从b→c平均速率大，路程小，故时间短，即tab

答案：C

2.（2013·广东卷）如图2所示，游乐场中，从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道。甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的有

■

A. 甲的切向加速度始终比乙的大

B. 甲、乙在同一高度的速度大小相等

C. 甲、乙在同一時刻总能到达同一高度

D. 甲比乙先到达B处

解析：甲、乙两小孩均沿曲线从高处A运动到水面B处，路程相等，到达B处时速度大小相等（由机械能守恒定律可以证明）。运动过程中，甲的切向加速度逐渐减小，而乙的切向加速度逐渐增大;切向加速度反映速度大小即速率变化的快慢，据此可大致画出甲、乙两小孩运动过程的速率时间图像如图3。

答案：B

3.（2014·安徽卷）如图4所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线。已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1;若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2。则

■

A. v1=v2，t1>t2B. v1t2

C. v1=v2，t1

解析：解法一，由机械能守恒，知到N点的速率与由M点出发时的速率相等，即v1=v2=v0。沿管道MPN运动，速率先减小后增大，平均速率小于v0;而沿管道MQN运动，速率先增大后减小，平均速率大于v0，而路程相等，故沿管道MPN运动时间长，故t1>t2。

解法二，由机械能守恒，知到N点的速率与由M点出发时的速率相等，即v1=v2=v0。沿管道MPN运动，速率先减小后增大，切向加速度先减小后增大，速率时间图像为向上突起的曲线;而沿管道MQN运动，速率先增大后减小，切向加速度也是先减小后增大，速率时间图像为向下突起的曲线;速率时间图像如图5，而路程相等，即图像包围的面积相等，故沿管道MPN运动时间长，故t1>t2。

■

答案：A

4.（2014·上海）如图6所示，竖直平面内的轨道I和II都由两段细直杆连接而成，两轨道长度相等，用相同的水平恒力将穿在轨道最低点B的静止小球，分别沿I和II推至最高点A，所需时间分别为t1、t2，动能增量分别为△Ek1、△Ek2，假定球在经过轨道转折点前后速度大小不变，且球与I和II轨道间的动摩擦因数相等，则

A. △Ek1>△Ek2，t1>t2

B. △Ek1=△Ek2，t1>t2

C. △Ek1>△Ek2，t1

D. △Ek1=△Ek2，t1

解析：本题考查了动能定理和匀变速直线运动的位移与时间的关系。因为摩擦力做功Wf=μ（mgcosθ+Fsinθ）·s=μmgx+μFh，可知沿两轨道运动，摩擦力做功相等，根据动能定理得：WF-mgh-Wf=△Ek，知两种情况拉力做功相等，摩擦力做功相等，重力做功相等，则动能的变化量必然相等，末动能相等，最终的速率相等. 作出在两个轨道上运动的速率时间图线如图7所示，由于路程相等，则图线与时间轴围成的面积相等，由图可知，t1>t2. 故B正确，A、C、D错误。

■

5.（2015·福建卷）如图8所示，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上。若小滑块第一次由A滑到C，所用时间为t1，第二次由C滑到A，所用时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则

■

A. t1<t2

B. t1=t2

C. t1>t2

D. 无法比较t1、t2的大小

解析：研究表明，本题的绝对难度过大。欧剑雄老师在《孰快孰慢—论2015年高考福建理综卷第17题》一文中通过严密的数学证明t1<t2;曹盼老师在《应用计算物理方法探讨一道圆弧拼接试题》一文中通过“基于原始的高中物理基本的运动学规律和原理”的计算物理方法，应用数值模拟并通过绘制速率时间图像得到滑块从A到C的时间总是比从C到A的时间要短。

答案：A

三、启示

1. 对于约束条件下曲线运动中判断时间长短的问题，速率时间图像是一条捷径。

2. 利用速率时间图像解答问题，其关键有三点：

（1）注重过程中受力分析，定性或定量利用牛顿第二定律得出切向加速度的变化情况，而这一情况又直接反映为速率时间图像上斜率的变化;

（2）注重初、末速率的分析，这一情况直接影响着图线的起始点和回归点;

（3）明确速率时间图像围成的面积表示路程。

3. 速率时间图像的延伸和拓展，是解决物理问题的又一利器。教学中适当引入，尤其是高三复习备考，对拓展学生的科学思维和科学方法是有益于学生的。

责任编辑   李平安