例谈中职学生数学核心素养的培养

2019-03-07何群

考试周刊 2019年21期

摘要：我们知道数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。恰恰数学核心素养正是由数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六大板块组成，这些核心素养既相互独立又相辅相成，构成一个整体。

关键词：中职学生；数学核心素养；培养

一、问题的提出

什么是数学核心素养？张奠宙认为：“真、善、美”三个维度是核心素養的高度体现。对中职学生而言，他们很多人认为在以后的工作生活中很少用到数学，所以他们对数学不够重视，有些甚至放弃数学学习。在加快职教体系的建设中，要落实立德树人的根本任务，就必须引起他们对数学学习的重视，提高他们的数学核心素养。举个简单的例子：家里用的水电煤，现在都实行阶梯计费，如果具备数学素养能帮助他们在具体的情境中发现、分析和解决问题，做到怎样才能勤俭持家，这就是数学核心素养在生活中的体现。当然我们知道数学核心素养主要由数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等六大板块组成。那么如何让我们的中职学生能慢慢地具备这些素养，并能在实际工作和生活中应用呢？当然靠数学课堂这个教学主战场。因此在课堂教学中培养中职学生的数学核心素养是我们中职数学教师的迫在眉睫的任务，本文通过具体的教学案例，谈谈如何在数学课堂教学中培养中职学生的数学核心素养。

二、问题的解决

（一）在陈述性知识的教学中，培养学生的数学抽象素养

我们都知道，概念是属于陈述性知识的学习，是数学学习非常重要的一块内容，是掌握“四基”“四能”的基础，因此学好数学的首要任务就必须正确理解概念，这样的数学才具有终身发展和可持续发展的力量。但是说到概念，我们中职学生也许最不喜欢上的就是概念课，想当初的函数概念，教师上的是头头是道，学生听的是云里雾里，很多教师最后索性把概念淡化，直接要求学生会求函数的定义域和值域，把能判断是否同一函数作为学生是否听懂的标准。殊不知，这样做的结果就是学生只会做题，遇到函数的本质问题还是不会。由于数学概念的获得离不开数学抽象的过程，而数学抽象是数学六大核心素养之首，因此教师还是要从具体到抽象，再从抽象到具体，让学生充分理解概念的本质属性。下面以对数的概念为例，来阐述如何培养中职学生的数学抽象素养。

案例1 4.5《对数的概念》教学片段（浙江专版第一册）

情境1：已知等式：（1）23=N；（2）a3=8；（3）2x=8都是形如ax=N（a>0且a≠1）的式子，我们称之为指数式。

问题1：从方程的角度看，这三个指数式中，分别已知什么？要求什么？你会解吗？

学生1：从方程的角度看，这三个指数式中分别属于：（1）已知底数2、指数3，求幂，23=8；（2）已知指数3、幂8，求底数，2=38；（3）已知底数2、幂8，求指数，3=？（回答不出）。

问题2：这个指数x的大小与哪些数有关？能否用现有的数表示？

学生2：与2和8有关。好像表示不出来。（学生处于一种“愤”“悱”的状态）

设计意图：对于指数式2x=8，指数x是由2和8唯一确定的，用学过的数无法表示，引起学生求知欲望。教师因势利导从数学史的角度开始讲解苏格兰数学家、神学家约翰·纳皮尔的故事，说明他发明了一种数——对数，用对数将它表示为log28（通俗地讲：3是由2和8这对数唯一确定，因此称为对数。）即2x=8，x=log28（读作：以2为底8的对数），其中23=8是指数式，x=log28叫作对数式。

情境2：试将下列指数式中的指数用对数表示出来。

（1）36x=6；（2）2-1=12；（3）34=81；（4）ax=N（a>0且a≠1）。

由（4）式得到对数的概念。

板书（对数的定义）：一般地，如果ax=N（a>0且a≠1），那么数x叫作以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数。

ax=N x=logaN

（指数式）（对数式）

（后面对数的运算和应用略）

设计意图：学生先从已有的认知中了解对数的来源，但是用仅有的知识解决不了实际问题，从而引起学生的认知冲突，此时对数这个抽象的概念便呼之欲出，从心理上为概念的出现做好了铺垫。从特殊到一般，从具体到抽象，用数学符号语言表达出了对数的定义，学生知道了概念的来源，从自身认知出发经历了概念的产生和发展，形成了相应的活动经验。我们知道概念的获得，概念的应用，建立概念体系是数学概念学习的三个阶段，它不仅是数学学习的基础，更是代数运算、推理证明的依据。

（二）在程序性知识的教学中，培养学生的逻辑推理素养

像数学定理和数学公式的推导等属于程序性知识的教学，往往是根据一些已知条件，按照规则推出另一个结论的思维过程。逻辑推理能保证数学的严谨性，是数学结论、构建数学体系的重要方式，也是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。

在证明均值不等式这一节课中，很多中职学生到后来都只记得这个结论，对于证明的过程一点印象都没有，究其原因是因为很多中职数学教师弱化了证明过程，对学生的要求是能用均值不等式解决问题就可以。殊不知，数学是需要知其然，才能知其所以然的，这些证明的方法在很多地方都可以通用的，如果不掌握学生只会做这一类题型，其他的还是枉然，学生的逻辑推理素养还是得不到培养。

案例2 2.5《均值定理》教学片段（浙江专版第一册）

问题：已知a，b都是正数，怎么判断a+b2与ab的大小？并证明你的结论。

学生1：取a=1，b=2，ab=2≈1.414，a+b2=1.5，所以a+b2>ab。证明不会。

教师：哦！用特殊值法可以判断两式的大小，那还有没有要补充？

学生2：取a=1，b=1，ab=1，a+b2=1，因此a+b2≥ab。

教师：也是取特殊值，发现还有相等的情况，不错！但是，我们都知道特殊值法在选择填空题中可以起到事半功倍的效果，但是在证明题中得到的结论不一定正确，需要合情合理的推理证明才能让人心服口服。那么一般我们是如何来比较两个数或式的大小的？

学生3：可以采用作差比较大小的方法。

教师：对！但是a+b2与ab，有个式子含有根式，我們可不可以先处理一下？

学生4：因为a，b都是正数，所以a+b2与ab也都是正数，即a+b与2ab也是正数，因此我们可以先平方比较，然后再还原。

教师：非常不错！（学生叙述，教师板书）

a2+b2+2ab-4ab=a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，所以（a+b）2≥（2ab）2。

因为（a+b）2-（2ab）2≥0。因为a，b都是正数，所以a+b≥2ab，即a+b2≥ab。

设计意图：数学很多时候是先猜想后证明，运用合情推理去猜想，再运用演绎推理去证明。在问题的解决过程中，经历从特殊到一般的思维方式，先根据特殊值判定其大小关系，再对结论进行证明，从特殊到一般的归纳过程就是形成命题和猜想的过程。虽然中职学生的推理演绎能力没有普高的学生强，但是并不意味着他们在以后的工作学习生活中不需要这个能力，所以培养中职学生的逻辑推理核心素养的培养是很重要的。

（三）在实际应用问题的教学中，培养学生的数据分析和数学建模素养

数据分析是指针对题目中出现的相关数据，通过辨析对数据中的有用信息进行提炼，从而帮助解题。数学建模是把实际问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题、用数学知识与方法来构建模型解决问题的过程。在运用数学知识解决实际问题的过程中，往往需要通过数据分析和数学建模将实际问题转化为数学模型，求得数学模型的解，最后再将数学模型的解转化为实际问题的解。中职学生估计最害怕的就是实际应用的题目，那么下面就以此为例来阐述。

案例3 3.5《函数的实际应用举例——分段函数》教学片段（浙江专版第一册）

在函数的应用教学中，有很多实际应用的例子，需要教师针对每个类型给学生讲透，特别要依据实际生活中的现象，提炼数学信息，构建数学模型，解决数学问题，还原生活实际。下面以居民生活用电为例进行分析。

例：在中国有些地区，由于电力紧张，政府在号召居民节约用电的同时鼓励夜间用电.四川省电网居民生活电价表（单位：元/kWh）规定“一户一表”居民生活用电收费标准如下：

（1）月用电量在60kWh及以下部分，每日7：00～23：00期间用电，每千瓦时电价0.4724元；23：00～次日7：00期间用电，每千瓦时电价0.2295元。

（2）月用电量在61至100kWh部分，每kWh提高标准0.08元。

（3）月用电量在100至150kWh部分，每kWh提高标准0.11元。

（4）月用电量在150kWh及以上部分，每kWh提高标准0.16元。

根据以上规定，请建立该地“一户一表”居民用电量与电费之间的函数关系模型。若某户居民6月份的用电量为：7：00～23：00期间用200kWh，23：00～次日7：00期间用了100kWh，请计算这户居民6月份应缴纳的电费。根据所建立的模型为居民提供一个合理化的用电建议。

说明：1. 电表能准确地显示每户居民各时段的月用电量，且无公摊；2. 假设收费标准按月执行；3. 设z为“一户一表”居民的月电费，居民一个月内在时段7：00～23：00的用电量为x，时段23：00～次日7：00的用电量为y。

教师：（出示题目）这里面有几问？

学生1：有三问。一是建立电量与电费之间的函数关系模型；二是计算6月份的电费；三是提供一个合理化的建议。

教师：这三问最关键的是哪一问？

学生2：应该是第一问，第一问解决了，第二、三问也解决了。

教师：那解决第一问的关键是什么？

学生3：找出函数关系，也就是电费与用电量之间的关系。

接下来学生说，教师板演。

模型的分析与建立：居民月用电量应为在时段7：00～23：00的用电量与在时段23：00～次日7：00的用电量的总和，当总用电量超过60kWh而未超过100kWh时，超过 60kWh 部分的电量，居民需支付额外电费，依此类推……模型如下：

z=0.4724x+0.2295y，0≤x+y<60

0.4724x+0.2295y+0.08（x+y-60），60≤x+y<100

0.4724x+0.2295y+0.08×40+0.11（x+y-100），100≤x+y<150

0.4724x+0.2295y+0.08×40+0.11×50+0.16（x+y-150），x+y≥150

模型求解：这里x=200，y=100，因x+y=300>150，所以将x=200，y=100代入电费模型中的第4个，得z=150.13元。

建议：由于夜间（时段23：00～次日7：00）电价不到白天（时段7：00～23：00）电价的一半，所以居民应尽可能地在23：00～次日7：00时段用电，如一些耗电量较高的电热水器等可设置在夜间工作。另外，由于用电量越高，电价越高，所以，倡议居民养成节约用电的好习惯。

设计意图：通过学生自己思考，对题目中数据进行分析、提炼，这样可以养成通过数据看问题的习惯。虽然中职学生的建模能力不强，但是师生一起合作，依托数据探索事物本质，建立数学模型活动，从而可以拓宽视野，增强创新和应用意识，最后激发内在的潜力。

（四）在立体几何习题课教学中，培养学生的直观想象素养

借助几何直观进行空间想象，然后感知事物的形态与变化，从而利用图形理解和解决数学问题，这就是直观想象。直观想象是发现、提出、分析和解决数学问题的重要手段，也是探索、形成、推理和构建抽象的思维基础。

案例4 8.4《几何体的面积和体积》习题课教学片段（浙江专版第三册）

教师：（出示问题）在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=3，OB=2，OC=1。分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为。

（这个题目原题是OA>OB>OC，针对职高生，教师特意降低了难度，把它改编成具体的数据，这样中职学生容易理解。）

经过小组合作，教师适当参与点拨，学生基本有两种思路。

小组一代表：要比较S1，S2，S3的大小关系，只要把S1，S2，S3三个面积算出来即可。以S1为例，取BC的中点D，连接AD，S1即为△OAD的面积。因为OA，OB，OC两两垂直，所以AB=13，AC=10，CB=5。OD为直角三角形OBC斜边上的中线，所以OD=52，所以S1=S△OAD=12×52×3=354。同理可得S2=2104，S3=134。所以S1>S2>S3。

教师：非常好！思路很清晰，而且计算也很到位。其他小组有没有补充？

小组二代表：由于三条棱OA，OB，OC两两垂直，故将三棱锥OABC放入以OA，OB，OC为同一顶点的三条棱的长方体中。

教师：这个想法很棒，你能代表你们组到黑板上来画一画吗？

小组二代表：如图，不妨先分析过棱OA的截面，因为要平分三棱锥的体积，所以它与平面OBC的交线平分△OBC的面积，所以它就是长方体中包含OA的对角面OAEF在三棱锥内的部分，所以S1=S△OAM=14SOAEF=354，同理可得S2=2104，S3=134。所以S1>S2>S3。

教师：这个方法减少了计算量，容易避开计算错误这个大坑，非常赞。

设计意图：学生通过两两垂直的三棱锥联想到长方体的一个角，运用熟悉的几何图形的直观模型解决问题。学生把握图形与空间的能力被提升了，探究的好奇心被增强了，创新意识也形成了。

（五）在解析几何的教学中，培养学生的数学运算素养

数学运算是根据运算法则解决数学问题。它是由理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果组成。在数学运算核心素养的形成过程中，学生通过提升数学运算能力，解决实际问题，促进思维发展，养成程序化思维的习惯，从而形成一丝不苟，严谨求实的科学精神。

案例5 《圆锥曲线与直线的位置关系》例题教学片段（浙江专版第三册）

教師：（出示例题）过椭圆x216+y24=1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。（思考：要求直线方程，已经有一个点已知，那么还需要知道什么条件？）

学生1：要么再来一个点，要么求斜率。

学生2：想要再求一个点，设一个交点为A（x，y），点A关于M（2，1）对称，则求得另一个交点B（4-x，2-y）。因为两个点都在椭圆上，所以点A，B都满足椭圆方程x216+y24=1（4-x）216+（2-y）24=1，两个未知数两个方程，应该可以解，但是我还没有解出来。

学生3：我是想直接求斜率，设直线方程为y-1=k（x-2），因为直线与椭圆有两个交点，所以把直线方程代入椭圆方程求得两交点，再利用M（2，1）是两交点的中点，求得k。不过我也还没有解出来，看着有点烦。

教师：两位同学的想法都很好，其实第一位同学如果运算技巧过关的话应该已经能够解出来了，把两式相减，运用平方差公式解得4（2x-4）16+2（2y-2）4=0，化简得到x+2y-4=0，再解得x=4-2y代入方程x216+y24=1，解得y=0或者y=2，再代入x=4-2y得到x=4或者x=0。于是得到这条弦所在直线的方程为x+2y-4=0。

学生4：啊！我发现所求的直线方程就是把两点代入椭圆方程得到的两式相减，运用平方差公式解得4（2x-4）16+2（2y-2）4=0，化简得到的方程x+2y-4=0。

教师：对！你很细心哦！其实这里我给大家介绍一种设而不求的点差法计算方法。设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），

∵M（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，

又∵A、B两点在椭圆上，∴x21+4y21=16，x22+4y22=16，

∴两式相减得（x21-x22）+4（y21-y22）=0，

∴（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y2x1-x2=-x1+x24（y1+y2）=-44×2=-12，即kAB=-12，

∴所求直线的方程为y-1=-12（x-2），即x+2y-4=0。

设计意图：中职学生在数学的学习过程中遇到难烦的计算问题往往会缴械投降，这时需要教师分解难度，适当强化运算技巧，在困难中提出设而不求点差法的运算技巧，不仅让学生记住了这个方法，而且在以后的类似的中点弦问题中不自觉地会想到这个方法，从而内化所学。

总之，数学运算能力的培养是一个循序渐进，螺旋上升的过程。教师要做好教学的顶层设计，站在系统的高度，规划好达成教学目标的每一步骤，引领学生逐步提升数学素养。

参考文献：

[1]钟革辉.概念课教学的实践探索[J].2018（6）：32-35.