例说逆向思维在极限问题中的应用

魏 君 李立明

（吉林大学公共数学教学与研究中心，吉林 长春 130012）

微积分学是以极限为工具研究函数的各种性态的一门学科，极限概念是整个微积分学的基础。正确理解极限的概念，熟练掌握极限的性质与运算方法,有助于学生学好高等数学课程，并为后续相关课程打好数学基础。极限的概念过于抽象，理论性强,极限的运算方法多种多样，技巧性强，在高等数学教学中既是教学重点也是教学难点。在极限问题中利用逆向思维，从已有思路的相反方向去思考问题，往往能达到事半功倍的效果。

逆向思维在高等数学的教学中非常重要，应用中的反证法、分析法、举反例、公式定理的逆用等等都能反映出逆向思维。对于一些极限问题，从结论往回推，从求解回到已知条件，倒过来寻求解题方法，也许能帮助我们更深刻的理解极限概念，更简单的解决极限的运算问题。

下面的例子也都是利用逆向思维求解的极限运算问题。

分析本题要根据一个已知条件求解两个未知数，因此需要根据题中的已知极限获得关于未知数的两个方程。而题中的极限可通分为，利用逆向思维思考，在x→∞的过程中其分母是∞，那么只有在分子极限为常数时才能使得整个极限等于0。

（A）f（x）不可导；

（B）f（x）可导，且f'（0）≠0；

（C）f'（0）=0，且在原点某邻域内f'（x）≥0；

（D）f'（0）=0，且在原点某邻域内f'（x）≤0。

分析这是一道选择题,从选项入手，本题的选项都与函数（fx）在x=0的导数有关，由导数定义，而，因此本题只需求解极限，把它和题中的已知条件相比，可知本题的关键在于求解函数值f（0）。利用逆向思维思考，在x→0的过程中已知极限的分母是零因子，那么分子必然也是零因子才能使得整个极限等于2，因此有，再根据题设中 （fx）在原点附近的连续性，有，从而得到f'（0）=0。另一方面，由极限的保号性可知在原点某邻域内f（x）≥0，因此本题应选C。

本题中获得函数值f（0）的方法非常常见。利用逆向思维方法，如果一个分式的极限是常数，而分母中含有零因子，那么分子也一定含有零因子。

分析本题所求的是无穷个无穷小的和，因此不能直接利用极限的四则运算法则求解;要想用夹挤定理，需要放缩后找到极限相同的两个数列，也很难做到，如果利用逆向思维，考虑定积分的本质就是特定形式的和的极限，不妨把题中数列的和整理为定积分形式的和，从而利用”N-L公式”求出极限的值。

分析本题是既有指数运算又带有阶乘的数列求极限，直接放缩需要一定的技巧。考虑到本题中的数列恒为正，如果利用逆向思维，正项级数的一般项趋于零，不妨以题设数列构造正项级数，利用比值法获得级数的收敛性，从而得出原极限等于零。而比值法中的是很容易处理含有指数运算和阶乘的项的。

下面给出本题的直接解法。

直接解法需要对既有指数运算又带有阶乘的一般项进行放缩，如果是更复杂的数列，例如就会很困难了。而上述利用逆向思维构造正项级数的方法，处理起来依然十分方便。

极限运算复杂多变，在解题过程中如果能恰当的运用逆向思维，则可以起到化繁为简,事半功倍的作用。因此在日常教学中注意对学生渗透这一思维方法，可以帮助学生提高解题能力和数学素养，进而提高学生研究性学习的能力，为社会培养高层次人才。