四方折叠梁声子晶体低频带隙特性研究

高南沙，李沛霖，周文林，侯 宏

（1.西北工业大学 航海学院，西安 710072；2.西北工业大学 声学信息感知工信部重点实验室，西安 710072）

弹性波在声子晶体中传播时，受其内部周期结构作用，形成特殊色散关系（能带结构），色散关系曲线之间的频率范围称为带隙。理论上，带隙频率范围的弹性波传播被抑制，然而其它频率范围（称为通带）的弹性波将在色散关系的作用下无能量损耗地传播。目前比较成熟的声子晶体带隙形成机理有两种，即Bragg散射机理和局域共振机理。一开始被研究的声子晶体所具有的带隙都属于Bragg散射机理[1-3]。若基体为流体，该声子晶体最低声波带隙的中心频率可由基体声速c和晶格常数a确定，即c/2a。这种波长与晶格常数成两倍的关系与Bragg所发现的晶体中X射线衍射行为类似，因此将这类带隙的形成机理称为Bragg散射机理[4]。该机理不利于在低频范围内的展开应用[5-6]。局域共振机理的出现和发展改变了这种局面[7]。与Bragg散射机理明显不同，局域共振机理强调单个原胞的运动模式。通过适当的重构，一般是在基体和散射体中间再加入柔软的包覆层，使原胞所构成的振子在远低于晶格尺度波长对应的频率范围内发生共振，并阻断正常的波传播过程[8]。至今为止，在对声子晶体和声学超材料的理论研究上已经有了很大的突破，但是针对于实际的工程问题仍然存在着一些急需而难以解决的问题，对于中高频振动和噪声问题，虽然Bragg散射型声子晶体能够表现出优于传统减振降噪方法的带隙特性，但是传统的减振降噪方法足以处理这些频段的问题，而且在制造成本严格控制或空间有限的场合，Bragg散射型声子晶体存在着体积过大等一系列缺点，所以在低频范围内，从实用性的角度看，Bragg散射型声子晶体具有很大的局限性。2016年，张佳龙[9-10]提出正八边形孔状和双包覆层局域共振声子晶体模型，该结构在500 Hz以上的中高频范围内存在带隙，依然没有很好地解决中低频的减振降噪问题，最近，Lai Y[11]和Mei J[12]等基于局域共振机理设计了相关的声学超材料结构，解决了低频降噪减振问题，但是同时都存在着工艺复杂，带隙频率范围窄以及调节不灵活等问题。

通过分割中心谐振子从而增大自由表面来降低带隙，基于低频多重振动耦合机理提出了一种新型二维三组元四方折叠梁声子晶体结构，通过改变基体和谐振子之间的几何结构，在不增加单元结构和质量的情况下打开低频带隙，具有良好的降噪效果。通过调节单元结构特性参数，得出影响该结构带隙位置、宽度的主要因素，从而总结出控制该结构低频减振降噪效果的影响规律。

1 多重振动耦合机理

1.1 二维四方折叠梁声子晶体模型

二维四方折叠梁声子晶体的结构如图1所示，利用四方折叠的弹性梁来替代传统局域共振型声子晶体中的包覆层，然后将四方折叠梁分别连接在正方形外框和正方形谐振子上。图1(c)个给出了所对应Brillouin区。图1(d)和图1(e)分别是二维四方折叠梁局域共振型声子晶体的两种结构，即模型1和2。可以看出，在这两种模型中，中间层四方折叠梁是一个互补的对应关系，而图1(f)则给出了对比结构—模型3。

模型1、2和3中的不同颜色区域A、B和C分别代表不同的材料，四方折叠梁使用金属铝，正方形谐振子使用金属钨，而正方形外框采用硅橡胶，材料参数如表1所示。

几何结构参数晶格常数a=34 mm，中心正方形谐振子的边长H是20 mm，四方折叠梁宽度b=1.43 mm，四方折叠梁之间的空隙宽度e=2.14 mm，内外层开口宽度C1=C2=2.2 mm。

1.2 带隙特性分析

图1 二维四方折叠梁声子晶体基本结构及其对应的Brillouin区

本文基于COMSOL Multiphysics软件，详述二维固-固型声子晶体的能带结构计算过程。在COMSOL Multiphysics软件3.5a版本的模型导航窗口中，选择结构力学中的模块-特征频率分析。在进入分析界面后，画好几何模型后进行常数设定，为了便于在以后的分析中进行参数扫描，设定初始常数值kx=1，ky=1，在这里kx和ky是倒格子空间的基矢。在求解域的设定中输入材料的弹性参数。在声子晶体的概念中，单元之间互相联通的材料称为基体，在单元中心质量比较大的材料称为散射体，又可以称为谐振子，而它们之间的部分称为包覆层。在本算例中基体采用环氧树脂，包覆层采用硅橡胶，而散射体采用铅。材料参数详见附录。根据一般的有限元法步骤确定形函数、建立单元内的刚度矩阵和质量矩阵，获得单元的广义本征值方程

表1 材料参数

式中：Ks——单元刚度矩阵；Ms——质量矩阵；u(v)——整体节点位移阵列。

图2 模型1、2和3的能带结构

周期结构的声子晶体，可以采用Block周期性条件将整体的计算缩减到一系列的单元中进行。所以在软件中取X和Y方向的两条边作为源项，它们的表达式中分别输入单元内的特征向量u和v，而目的端选择的两条边是和源项两条边相互对应的。在目的端表达式中，输入u(v)⋅exp(i⋅pi⋅kx(ky))，这样就完成了周期性边界条件的设置。在求解器参数中设置所求特征频率的阶数，然后采用平面应变三角形单元进行有限元网格划分，完成求解。在软件中，选择Eigevalue求解器，即给定一个k值，即可求得一组结构本征频率，最后进行波矢参数扫描。本节研究对象是声子晶体具有代表性的正方晶格，所以扫描的边界应该遍历整个Brillouin的边界。当波矢沿着M-Γ-X-M的边界完成参数扫描后生成txt文档，导入MATLAB软件中就可以得出其能带结构。

图2、图3给出了模型1、2和3的能带结构和模型1的透射谱。在图2中，灰色区域表示带隙，可以很清楚地看出，对比结构模型3在1 200 Hz以下没有带隙，模型1和2在400 Hz以下都可以打开带隙，不同的是模型2打开了四条完全带隙，而模型1只打开两条，但是模型1的两条带隙的宽度比模型2的大，第一带隙从100 Hz到106.7 Hz，第二带隙从193 Hz到297带隙，其第二带隙宽度达到100 Hz。因为模型1和2在XY方向上属于不对称的。所以其所对应的能带结构中存在着很多方向带隙[13]，方向带隙在特定的单一方向上有很多应用，但本论文重点关注的是在全方向上能够发挥减振降噪作用的完全带隙。在400 Hz以下的频率范围，模型1的带隙范围大概为26.5%，与具有相同尺寸和材料的模型3相比，不仅可以打开带隙，而且带隙范围很宽，同时其结构的面密度减小，几何结构参数变多，能够对带隙进行调节。同样属于四方折叠梁局域共振型声子晶体的模型2，其带隙数量虽然多，但是宽度很窄，最宽的带隙只能达到5.1 Hz，分布在300 Hz和350 Hz之间。但是在50 Hz以下，甚至在低于10 Hz的范围内，图2(b)中有很多平直带，这说明模型2在超低频处存在更多的共振作用，这为振动能量回收提供了可行性。在图3中，模型1的透射谱其最低的峰值低于-250 dB，在190 Hz到300 Hz之间有比较高的隔声性能，该区间和图2中的带隙相互对应，验证了本文能带结构计算结构的准确性。

图3 模型1的透射谱

1.3 物理机理分析

在研究单元的模态位移时取2×2的大原胞作为研究对象，这样也可以更加清楚地反映出各个单元之间的相互影响。图4(a)－图4(d)给出了模型1在第一、二带隙的上下边界处的位移振型图。

首先讨论模型1第一带隙的上下边界关键点A、B的模态，A、B两点所对应的频率为100 Hz和106.7 Hz。在A点的模态中，振动几乎都集中在中心谐振子上面，在X或Y方向上，外边框呈现出旋转振动，且有一定的变形。在左上和右下小单元中，外框的变形是顺时针的；而在左下和右上小单元中，外框的变形是逆时针的。B点的模态完全不同于A点的模态，这些振动的中心都在每一个小单元的谐振子中心上，且方向是顺时针的，大原胞外框的振动是反对称的弯曲振动。C点是模型1第二带隙下边界的点，其模态类似B点的模态，振动中心依然在谐振子上，外框也有明显地弯曲变形，但是不同的是其中有两个小单元的旋转振动方向不同于B点中的旋转方向。D点，是模型1第二带隙上边界的点，可以看出谐振子的振动位移不大，变形主要发生在每一个小单元的右下外边框处，每一个小单元的上下四个外边框都是反对称弯曲振动。为了更加清楚地看出振型方向，图4(e)画出了这四个模态示意图，在2×2的大原胞中，重点关注的是节点处的位移方向（图4(e)中的黑色虚线框）。

图4 模型1前两条带隙的上下边界关键点处的模态振型图及其关键点的模态示意图

图中表明A、C两点在节点处的模态振动位移类似；而B、D两点在节点处的模态振动位移类似。在B、D点的模态中，在节点处位移方向是相反的，这样使得弹性波在每一个节点处不能前行；而在A、C点的模态中，当弹性波传播到节点时，会向垂直于弹性波振动的方向进行分流，从而使得弹性波无法继续向前传播，产生带隙。其背后的物理机理为：中心谐振子的质量相对很大，导致相邻谐振子之间的相互作用较大，外边框的材料非常软，所以外边框的振动模式不同于中心谐振子，谐振子（散射体）在第1阶Mie散射峰附近呈现出刚体共振模式，这是因为谐振子在振动中充当了“质量”的作用，而外边框基体材料充当了“弹簧”的作用。在本节的声子晶体结构中，谐振子的材料是高密度和高刚度的金属钨，但是由于四方折叠梁的设计，导致填充率不高。因此，在传播过程中，纵波将转化成横波向前传播，谐振子的振动模式受到外边框振动作用和相邻谐振子之间的相互作用，多种振动模式在单元之间的节点处发生耦合，如图4(e)所示，所以在这些频率处，完全带隙被打开。

从图2中可以看出，四方折叠梁声子晶体的带隙附近的频散曲线没有平直带，因此该结构不属于典型的局域共振声子晶体。所以，准确来说，多种振动的耦合，特别是在节点处的耦合，才是打开低频带隙的关键因素。四方折叠梁的引入，很大程度上减小了整体结构的等效刚度，而等效质量虽然也在减少，但其带来的影响远低于刚度的减小。这直接会导致整体结构的共振频率向下移动，从几何结构上知道，模型1的四方折叠梁的刚度比模型2低，相对应的带隙频率也低于模型2的带隙频率。

2 二维四方折叠梁声子晶体带隙影响因素

2.1 几何尺寸对带隙的影响

本节讨论模型1中四方折叠梁的尺寸对于带隙的影响，其中晶格常数a和中心正方形谐振子的尺寸不变。在图5(a)中，b e的比值从0.3增加到1.6，第一和第二带隙宽度不断减小，当b e等于0.9时，第一带隙消失，所以减小b的尺寸可以有效地增加低频带隙宽度。尺寸b是四方折叠梁的宽度，减小其尺寸可以有效地减小等效刚度，从而使得相关带隙向低频移动。从图5(b)和图5(c)中，可以看出C1和C2尺寸对于带隙的影响具有一致性。随着C1和C2尺寸的不断增加，第一带隙向低频移动，但是第二带隙的宽度和位置几乎不变。从图5(a)中看出，C1、C2尺寸对于整体结构来说非常小，其改变不会对整体结构的振动形式有很大的影响，对于等效质量和等效刚度的影响也可以忽略不计，所以C1、C2对带隙的影响非常小。

2.2 排列方式对带隙的影响

从结构上可以看出，二维四方折叠梁声子晶体（模型1或者2）不是完全对称的结构，因此不同排列组合的模型一定会对应不同的模态振型，本节取2×2的大原胞作为研究对象，不同的排列组合方式如图5－图6(a)－图6(d)所示，这4种排列方式的通带、带隙分布范围如图5－图7所示。A排列的大原胞具有两条带隙，其能带结构和图5－图3(a)一样；B排列依然具有两条带隙，但是其第一带隙的位置更低，第二带隙的下边界也更低；C排列在300 Hz以下的区域内全是通带；D排列的结构仍然可以打开两条带隙，但是这两条带隙的位置都偏高，其宽度也比较小。可以通过不同的排列组合，来调整带隙的位置和宽度，这对于不对称声子晶体结构来说，是调控带隙的有效方法。相对于以前的研究来说[14-18]，大多数学者都集中于单个单元的几何结构尺寸和材料组分的研究。对于很多相类似的结构，通过不同的排列组合打开或者关闭带隙是一种较简单的调控带隙方法。

3 结语

图5 几何参数变化对于带隙的影响

(1)本文提出了一种二维四方折叠梁局域共振型声子晶体模型，对能带结构和带隙关键点的模态位移进行分析，详述了带隙背后的物理机理。其结构多种振动的耦合，特别是在节点处的耦合作用，是打开低频带隙的关键。

图6 二维四方折叠梁声子晶体不同的四种排列组合形式

图7 A、B、C和D四种排列方式所对应的低频带隙分布

(2)二维四方折叠梁局域共振型声子晶体的几何尺寸b，即四方折叠梁的宽度，其增大可以导致带隙变窄，甚至消失。折叠梁、基体材料和谐振子连接处的几何尺寸C1和C2对于带隙的影响具有一致性，其尺寸的增加仅仅使第一带隙向低频移动。不同排列组合的2×2的大原胞对应着不同的带隙变化规律。这种结构设计为制备“低频，宽带，强衰减”特性的声子晶体提供了理论依据和方法指导。