求解圆锥曲线中的两类弦长问题

■江苏省响水中学 刘汝浩

例1 已知椭圆（a ＞ b＞0）,直线被椭圆C截得的弦长为2,且过椭圆C的右焦点且斜率为的直线l2与椭圆C相交于A,B两点。(1)求椭圆的方程;(2)求弦A B的长度。

分析:第一问利用已知条件可求解,第二问把直线l2的方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式可求解。

解:(1)由直线l1被椭圆C截得的弦长为,可得a2+b2=8。①

联立①②得a2=6,b2=2。

(2)椭圆的右焦点为F(2,0),故直线l2的方程为

代入椭圆C的方程,化简得:

由弦长公式,得:

点评:本题抓住直线l1的特点,简便快捷地得出方程①,再根据e得到方程②,从而求出椭圆的方程。解决直线与圆锥曲线的弦长问题时,常用到韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题

例2 过点P4,1（）作抛物线y2=8x的弦A B,点P恰好平分弦A B,求A B所在的直线方程及弦A B的长度。

分析:因为所求弦通过定点P,所以求弦A B所在的直线方程关键是求出斜率k,点P是弦的中点,可用作差或韦达定理求,然后套用弦长公式可求弦长。

解法1:设A(x1,y1),B(x2,y2)。

则y21=8x1,y22=8x2。

两式相减,得:

整理得直线A B的方程为y-1=4(x-4),4x-y-1 5=0。

解法2:设A B所在的直线方程为y=k(x-4)+1。

设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得

所以直线A B的方程为4x-y-1 5=0。

联立直线A B的方程与抛物线方程,利用韦达定理与弦长公式,可求得|A B|=

点评:解决弦的中点有两种常用方法:一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件;二是利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造中点坐标和斜率的关系求解,然后可套用弦长公式求弦长。