数控机床XY工作台动态定位误差分析与建模*

杨洪涛，庞勇军，李 莉，陈邦晟

(安徽理工大学 机械工程学院，安徽 淮南 232001)

0 引言

XY工作台是数控机床的重要组成部分，其定位误差是影响机床加工精度和在机测量系统测量精度的主要来源。XY工作台定位误差不仅受各组成部件刚度变化、装配精度、摩擦磨损等因素影响，而且受工作台移动速度的影响[1-3]。近年来不少学者对工作台各组成部件的结构特性及精度开展研究。Lin等建立了滚珠丝杠副误差模型[4]。许向荣等推导了螺母滚珠丝杠副刚度的计算方法，并分析了其影响因素[5]。刘春山、陈晓怀分析了光栅测量系统的误差来源，采用双频激光干涉仪对光栅测量系统进行了位置精度评定[6-7]。蒋书运等对数控机床的导轨结合部的动态刚度特性进行了分析[8]。Karnopp提出的Stribeck摩擦模型能够较好的描述机械进给系统的摩擦现象，并分析了摩擦的非线性对工作台运动的影响[9]。上述研究成果主要对工作台各组成部分的结构特性和误差开展独立研究，缺乏对运动速度影响下的XY工作台定位误差变化规律开展系统研究，因此本文拟在综合分析XY工作台单运动方向的各组成机构特性对工作台定位误差影响规律基础上，进一步研究不同运动速度下XY工作台定位误差变化规律，建立定位误差预测补偿模型。

1 XY工作台动态定位误差源分析

如图1所示,XY工作台由伺服驱动电机、联轴器、支撑轴承、滚珠丝杠、导轨、光栅和工作台台面构成。由伺服驱动电机通过联轴器，驱动滚珠丝杠旋转，带动丝杠螺母副和工作台台面做直线运动，通过光栅测量显示其运动位置。由于导轨存在制造和安装误差，导致工作台由两根导轨支撑运动时存在6项几何误差。电机驱动工作台施加的扭矩，促使滚珠丝杠组件出现轴向变形，与滚珠丝杠的制造误差耦合在一起，引起滚珠丝杠存在螺距误差。同时光栅测量系统也存在着定位误差。从上述分析可知，XY工作台单向动态定位误差主要来源于上述三类误差。

图1 XY工作台的结构及组成

2 XY工作台动态定位误差产生机理分析与建模

当XY工作台运动速度不同时，电机施加的扭矩不同，导轨副上产生的摩擦力也不同，上述三类误差也会发生变化。为了分析不同运动速度下XY工作台动态定位误差的变化规律，精确建立误差预测补偿模型，下面对工作台三类动态误差产生机理进行详细分析，建立其计算模型。

2.1 不同运动速度下的XY工作台的摩擦特性

数控机床XY工作台的摩擦力主要来源于导轨系统和滚珠丝杠组件，会影响导轨和滚珠丝杠的性能，产生稳态跟踪误差，进而影响工作台定位精度。XY工作台的运动速度不同，其摩擦力不同，影响工作台定位精度程度也不同。为了确定在不同运动速度下的XY工作台摩擦力大小，现采用Stribeck摩擦模型来建立工作台摩擦力计算模型[10]。由于滚珠丝杠组件可以近似为两个滚动体，只产生滚动摩擦，因此可以假设其为库仑摩擦。而导轨组件可以近似为两个滑动体，只产生滑动摩擦，因此可以假设为库伦摩擦和Stribeck摩擦的和，所以XY工作台总摩擦力Ff可以利用式(1)计算。

(1)

式中，v—工作台速度；fs—静摩擦力；fs=μsmg；μs—静摩擦系数；fm—库伦摩擦力；fm=μmmg；μm—动摩擦系数；m—工作台质量；vs—Stribeck速度；fv—粘性摩擦系数。

根据后续实验装置实际结构组成，本文取μs=0.042；μm=0.04；vε=0.02mm/s；m=23.5kg。

2.2 光栅测量系统的误差

2.2.1 标尺光栅误差

标尺光栅误差包括栅距误差和均匀性误差。但莫尔条纹对光栅栅距具有平均效应，故栅距误差可以忽略不计。均匀性误差是由标尺光栅各部分透光量不均匀所造成的，可以将其视为随机误差δ随1。

2.2.2 光栅副误差

(1)光栅副夹角偏差Δθ引起的误差

光栅安装时指示光栅与标尺光栅之间存在间隙，光栅夹角偏差会引起信号调制与信号正交性发生变化，带来光栅尺测量误差[11]。

①信号调制幅度变化引起的误差

(2)

式中，h—指示光栅光栏高度。

②信号正交性变化引起的误差

Δθ会使莫尔条纹的相对宽度D/θ发生变化，影响指示光栅输出信号的正交性，带来测量误差Δφ。

(3)

式中，a—象限中心距。

(2)光栅副间隙Δt1带来的误差

Δt1会使指示光栅输出信号调制度和直流电平发生相对变化，从而带来光栅测量误差。

①信号调制度变化引起的误差

(4)

②直流电平相对变化引的误差

(5)

式中，t1—光栅副间隙；n—光栅聚光透镜焦距；L1—光栅第一菲涅尔焦距；L1=D2/λ；λ—指示光栅中光电器件的峰值响应波长；s—光源宽度。

2.2.3 温度误差

数控机床工作台过程中，XY工作台会经历温度的变化，光栅测量系会产生温度误差，主要表现为标尺光栅的温度变形误差，可以利用下式计算。

ΔW=±Lx·αΔT

(6)

式中，Lx—XY工作台的位移；α—标尺光栅的膨胀系数；ΔT—光栅温度与环境温度差。

综上分析，光栅测量系统的误差有上述三类误差组成，则由光栅测量系统引起的XY工作台定位误差ΔG可以利用下式计算。

(7)

式中，δ随1—随机误差。

本文试验台使用的光栅尺型号为JCXE5，各个参数分别取值如下：t1=0.08mm；s/n =0.2；θ=0.1°；L1=0.167mm；D =0.01mm；a =5mm；α=3.5×10-6mm/°C；ΔT=0.3°C；h =4mm。

因此公式(7)可以简化为：

ΔG=0.34693Δt1+1.5×10-6Lx+δ随1

(8)

2.3 滚珠丝杠组件引起的工作台定位误差建模

XY工作台滚珠丝杠组件误差主要来源于电机转矩作用下的滚珠丝杠螺距变化、螺母组件的轴向变形和滚珠丝杠扭转引起的变形等方面，下面分别对各误差分量进行分析建模，主要包括驱动电机建模、滚珠丝杆螺距变化引起的误差建模、螺母组件轴向变形引起的误差建模和滚珠丝杆扭转变形引起的误差建模等。

2.3.1 驱动电机模型

根据克希荷夫定律，可得XY工作台的驱动力矩与电机角速度的关系为：

(9)

式中，Le—电机电枢的电感；Ka—力矩系数；U—电机电枢的电动势；i—电机电枢的电流；R—电机电枢的电阻；ω—电机输出角速度；Ke—电机反电势系数。

2.3.2 滚珠丝杠螺距变化引起的误差

滚珠丝杠的轴向变形会导致丝杠螺距的变化，而轴向变形量与其轴向刚度Kx有关。XY工作台的滚珠丝杠采用两端固定支承的方式，因此其轴向刚度为：

(10)

式中，d—滚珠丝杠的螺纹小径；L—两端轴承之间的距离；E—滚珠丝杠的弹性模量；l—滚珠丝杆副到右轴承的距离。

当螺母组件处于滚珠丝杠的中间位置时，具有轴向最小刚度，即l=L/2，此时：

(11)

滚珠丝杠所受的轴向力：

(12)

式中，η—滚珠丝杠的效率；P—滚珠丝杠的导程；T—驱动电机的转矩。

滚珠丝杠的轴向变形量为：

(13)

式中，Ff—工作台的摩擦力。

则滚珠丝杠的螺距变形量为：

ΔXr=PΔX/L

(14)

工作台由于滚珠丝杠螺距变化导致的定位误差ΔZ为：

(15)

2.3.3 螺母组件轴向变形引起的误差

XY工作台滚珠丝杠螺母组件轴向变形量引起的工作台定位误差Δδ是由螺母组件中滚珠与滚道的弹性变形量引起的，根据赫兹接触理论计算可得[12]：

(16)

式中 ，p—作用于螺母滚珠与滚道接触点的法向压力；J,ma—由τ值决定的系数；E1,E2—滚珠与内外环的弹性模量；μ1,μ2—滚珠与内外环的泊松比；Σρ—滚珠与内外环接触点主曲率半径和。

2.3.4 滚珠丝杠扭转变形引起的误差

滚珠丝杠的扭转变形大小取决于其扭转刚度，其会引起工作台滚珠丝杠转动的角度与电机实际转动角度差，进而引起工作台的定位误差。

滚珠丝杠的扭转刚度为：

(17)

式中，G—滚珠丝杠的抗剪弹性模量；IP—轴截面的极惯性矩；LS—滚珠丝杆螺母到左轴承的距离。

则工作台滚珠丝杠相对于电机的转角变化为：

(18)

因此XY工作台由于滚珠丝杠扭转变形引起的定位误差ΔN为：

(19)

综上分析可知，由滚珠丝杠组件引起的XY工作台定位误差ΔH可以计算为：

ΔH=ΔZ+Δδ+ΔN

(20)

根据本文实验台所采用的滚珠丝杠技术参数，公式(9)～公式(19)中参数分别取值如下：

P =5mm；L =424mm；d =13.5mm；μ1=μ2=0.3；E = E1=E2=2.06×105N/mm2；η=93%；Σρ=0.211；τ=6.21×10-3；LS=300mm；G =8.24×10-2N/mm2；Le=5.5mH；Ke=0.001。

则上述滚珠丝杠组件引起的XY工作台定位误差计算模型为：

ΔH=LX(41.8648/v-Ff)/741067200+
1.49263×10-4v2/3+9.26944×10-5/v

(21)

2.4 导轨系统制造、安装质量和摩擦力引起的误差

XY工作台面安装在在两根导轨上运动，导轨的制造和安装质量会导致工作台产生俯仰和偏摆角运动误差。另外随着工作台负载和运动速度的不同，导轨摩擦力发生变化，因此在摩擦力、负载和惯性力作用下的导轨变形量也不同，导轨系统的俯仰和偏摆角运动误差也发生变化，进而引起工作台定位误差发生变化。

工作台的驱动力、摩擦力、运动速度等动力学关系模型可以描述为：

(22)

式中，m—工作台质量；θ1—工作台的俯仰角；v—工作台的瞬时速度；ΔLx—工作台移动的定位误差。

(23)

同时工作台与导轨之间存在间隙和偏摆角运动误差，指示光栅会在运动的过程中产生水平方向的阿贝误差[13]，进而产生工作台的定位误差Δa。

Δa=L1tanθ2≈L1θ2

(24)

式中，Δa—水平方向上的阿贝误差；θ2—导轨与垂直方向的夹角，即工作台的偏摆角，则式(8)中的光栅副间隙误差Δt1的计算公式为Δt1=L1(1-cosθ2)。

另外XY工作台经过长时间的往返运动后，导轨面与工作台之间的磨损会导致两者间隙加大，在水平方向会产生一个附加阿贝误差，随着磨损的加剧会对最终测量结果的影响越来越大，现将其视为随机误差δ随2。

在上述公式中，θ1和θ2可以通过实验测量得到。根据本文实验台的技术参数，m =23.5kg；L1=60mm，则导轨系统制造、安装质量和摩擦力引起的误差ΔD为：

ΔD=ΔLX+Δa+δ随2=
23.5v2/(41.8648/v+235000·
sinθ1cosθ1-Ff)+60θ2+δ随2

(25)

综上分析可知，XY工作台单向运动时的定位误差Δ可以由式(26)计算得到：

Δ=ΔG+ΔH+ΔD

(26)

3 实际实验与测量结果分析

从公式(26)可知，XY工作台单向运动的定位误差Δ在不同运动速度下是不一样的。为了分析运动速度对XY工作台的影响，本文利用数控XY工作台和英国Renishaw XL80激光干涉仪搭建了实验装置，如图2所示，分别测量上述公式中需要测量的工作台运动速度、俯仰角和偏摆角，用于计算工作台的综合定位误差。

图2 实验装置

实验中XY工作台运动速度由数控系统进行设置，分别设为1mm/s，2mm/s，3mm/s，4mm/s，6mm/s，8mm/s。本文以XY工作台X向行程为例，其行程为150mm。由数控系统控制工作台沿X方向以上述不同运动速度运动，每间隔5mm分别利用激光干涉仪实时测量工作台的俯仰角和偏摆角，测得不同速度下的XY工作台X方向的俯仰角和偏摆角如图3和图4所示，可以看出工作台导轨质量较好，不同的速度下工作台的俯仰和偏摆角具有较好的重复性。

将XY工作台的运动速度、测量得到的不同速度下的俯仰角和偏摆角值代入公式(26)，计算得到不同运动速度下的工作台X方向的动态定位误差，如图5所示。从图5中可以看出，XY工作台的移动速度从1mm/s变化到8mm/s时，定位误差的变化规律基本保持不变，但具体数值发生变化。本文将XY工作台位移为5mm，45mm，70mm，100mm时的在不同运动速度下的动态定位误差进行采样，绘制的定位误差与速度的关系如图6所示。

图3 XY工作台俯仰角

图4 XY工作台偏摆角

图5 XY工作台动态定位误差

图6 定位误差与速度的关系图

从图中可以看出，当速度在3mm/s时，XY工作台的定位误差最小，存在着最佳运动速度。

4 结论

本文详细分析了不同运动速度和摩擦特性影响下的数控机床XY工作台动态定位误差的来源，建立了各动态定位误差分量的精确计算模型，搭建了实验装置，测量了在所需运动速度下的俯仰角和偏摆角，精确计算了工作台的定位误差值，同时分析了XY工作台动态定位误差受运动速度影响的变化规律。根据实验结果可知，本文研究的数控XY工作台动态定位误差受到运动速度影响，不同运动速度下的动态定位误差不同，存在着最佳测量速度。因此为了提高数控机床动态加工精度和在机测量系统的测量精度，必须精确建立工作台定位误差与运动速度下的误差补偿模型，同时尽量保证数控机床在其最佳运动速度下进行工作。