无穷网络和立体空间网络的求解

钟健

摘 要：电路是整个中学阶段的一个重点内容，其中的复杂电路中的无穷网络和立体空间网络是高考、物理竞赛的常考题型，占据着重要地位。而这部分内容对很多学生来说是难点，为此文章作者总结了几种无穷网络和立体空间网络求解的方法。

关键词：复杂电路；无穷网络电路；立体空间网络电路

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 收稿日期：2018-11-10 文章编号：1674-120X（2019）01-0076-02

物理考试和物理竞赛中常出现的无穷网络及空间网络类型的典型题目进行例题解说，这类题乍一眼看上去非常复杂，让人一头雾水，更不用说是解答了。其实往往越是复杂的题目，越是有规律可循。这些类型的题目也不例外，下面主要通过例题来揭示它们的规律。

一、梯形无穷网络

（一）半无穷梯形网络电阻

半无穷网络就是一端封闭，另一端无限延伸的电路。对于这种网络，可以利用其具有无穷和电阻排列规律性的特点，当整个电路中少一级网络或多一级网络，对整个网络的总电阻没有影响。也就是说，当无穷梯形网络是由无限多级具有相同连接规律的电阻构成的时，整个网络的等效电阻为一个固定的值。这种方法也叫做极限法。

例1：如图1所示电路称为半无穷梯形网络，求等效电阻Rab。

解析：由于该电路为无穷网络，因此a、b间的等效总电阻与去掉一级网络格子后的电阻应相等，即Rab=Rab……①

又a、b间的电阻等于R2与Ra'b'并联后再与R1、R3串联，即 …… ②

联立①②两式，化简得：

R2ab-（R1+R3）Rab-（R1R2+R2R3）=0，这是一个关于Rab的一元二次方程，故：

由于Rab必须大于零，所以上式根号必须取正号，因此

半无穷梯形电路按结构形式可以称此类电路为开端形半无穷梯形网络，即ab端没有闭合。既然有开端形，就应该闭端形，如图2所示的电路就是闭端形半无穷梯形网络。求其等效电阻的方法与解开端性网络的思路一样，同样也是采用极限法。

（二）缺口形无穷梯形网络

例2：如图3所示两端无穷电路，求中间e、f两点间的等效电阻。

解析：对于这种中间缺口型的无穷梯形网络，可以将其看成是左右两边各一个半无穷梯形网络并联而成，设两个半无穷网络的电阻为R，则有Ref= R，而R就是例题1中计算出来的Rab，故：

……①

若开口处不在中间，而是在底边，如图4所示，同样可以将其看成是两个半无穷网络与另一个电阻R1串联而成的，这个半无穷网络的等效电阻可采用例题1的解法——极限法求出，具体的计算过程交给读者。计算的结果为：

3.完整型无穷梯形网络

例3：如图5所示，这种电路称为完整形无穷梯形网络，试求i、j之间的等效电阻Rij。

解析：求i、j之间的电阻Rij有多种不同的方法。

方法一：对电路进行分割，将电阻R2与整个网络电阻电路分开，就可以把这种完整型无穷梯形网络看成是R2与中间缺口形的无穷梯形网络（如例题2）并联而成，则有：

，将例题2的结果①式代入此式可得：

。

方法二：将该电路图从i、j点处分割，就分割成了一个开端形半无穷梯形网络与一个闭端形半无穷梯形网络，这两个网络的联接方式是并联的，通过这种方法也能求出结果。

另外，如果题目改为求此完整型无穷梯形网络j、k之间的等效的电阻，又应该如何做呢？同样，我们将电阻R3与原电路分割开，很显然，原电路就变成了底边缺口形无穷梯形网络，故可以将原电路看成是它与R3并联而成，则：

，

将例题2中的②代入上式得结果：

二、面型无穷网络

（一）无穷正方形格子网络

例4：一个无穷正方形格子网络，求相邻两结点AB之间的等效电阻，其中每一小段电阻均为R。

解析：设电流I从A点流入后流向无穷远处，则会有I/4的电流从A→B；其他三条支路的电流最终又从无穷远处流回B处再流出，根据对称性，又有I/4的电流从A→B，故AB段电流为两个I/4的叠加，从而UAB=（I/2）R，RAB=UAB/I=R/2。

这个例题的分析中隐含了这样一种思想：从A点（或B点）流入的电流的对称性不会因为B点（或A点）有电流流出而遭到破坏，由基尔霍夫方程组也可以得出这种思想，在这里不做证明。

（二）无穷正六边形网络

例5：如图6所示为一个無穷正六边形网络，其中每个正六边形的边的电阻都为R。求①结点AB间的电阻。②若有电流I从A流入G点流出，那么DE段的电流多大？

解析：① 假设有一电流I由A点流进，从B点流出，那么流过AC段的电流是I/3，电流从C点又分流，有I/6的电流流经CB段；其他电流又从无穷远处流回B点，根据对称性，则AC段有电流I/3，CB段有电流I/6，电流叠加后，即AC段流过的总电流为2I/3，CB段流过的总电流是I/3，则有。

解得RAB=R …… ②

同理可知，从A点直接流到DE段的电流为I/12，根据对称性，从无穷远处流经DE段的电流也是I/12，故DE段的电流为此两个电流的叠加，即I/6。

三、立体空间网络

对于立体空间网络，它的着眼点也跟面型无穷网络一样，根据其对称性解答。

例6：如图7，由12段阻值均为1欧的导体棒焊接成的正方体框，试求该正方体两对角顶点月AA'间阻值。

解析： 设想AA'间加电压，电流从A点分别到B、D、C'，再分别到的路径完全相同，因为各边阻值相等，所以B、D、C'三点是等电势点，同理得B'、D'、C三点也是等电势点，可分别等效为同一点B和点B'作等效电路图，如图8所示，用R表示各段电阻，这样就能很容易地求出。

这个题是根据电势的对称性，将电势相等的点连在一起，从而简化电路，得出结果。

例7：有三个相同的金属圈两两相交地连成如图9所示的形状，若每一个金属圈的原长电阻为R，试求图中A、B两点之间的等效电阻。

解析：从金属圈的正上方往下看，电路图可简化成如图10所示电路，由于上下半球及图10都具有对称性，故电路可进一步简化如图11所示电路，设R=4r，则电阻阻值如图所示。

将电路化成常见电路形式，如图12，该图中每个电阻的阻值均为r，故得，即。

电阻网络的等效电阻，是电路理论的基本研究课题，本文通过典例例证，将电阻网络电阻求法总结为三种类型。

参考文献：

[1]石雷先.复杂电路等效电阻的简单求法四例[J].湖南中学物理，2015（3）：96-97.

[2]王玉璐.换个方法对付高中物理电路动态分析问题[J].湖南中学物理，2014（4）：64-65.

[3]吴碧兰.高中物理竞赛学生问题解决能力培养的实验研究[D].福州：福建师范大学，2003.