抛物线问题,定义先行

■江苏省太仓市明德高级中学 王佩其

在解析几何中,抛物线问题的求解往往离不开抛物线定义。抛物线定义不仅能帮助同学们打开解题思路,而且可以减少计算量,真可谓“抛物线问题,定义先行”。

一、定义助我求轨迹

例1如图1,在平面直角坐标系x O y中,点点P在直线上移动,R是线段P F与y轴的交点,R Q⊥F P,P Q⊥l。判断动点Q的轨迹,并求其轨迹方程。

解析:依题意知,点R是线段F P的中点,且R Q⊥F P,所以R Q是线段F P的垂直平分线。

因为点Q在线段F P的垂直平分线上,所以|P Q|=|Q F|。

又|P Q|是点Q到直线l的距离,故动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x。

评注:解答本题的关键是发现|P Q|=Q F|,即动点Q的轨迹满足抛物线的定义。

图1

二、定义助我求方程

例2如图2,过抛物线2=2p x(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线l于点C,若|B C|=|B F|,且|A F|=3,则此抛物线的方程为____。

解析:如图3,分别过A、B作A A1⊥l于A1,B B1⊥l于B1。

由抛物线的定义知:|A F|=|A A1|,|B F|=|B B1|。

因为|B C|=2|B F|,所以|B C|=2|B B1|,∠B C B1=0°,∠A F x=60°。

图2

连接A1F,则△A A1F为等边三角形。过F作F F1⊥A A1于F1,则F1为A A1的中点。设准线l交x轴于K,则|KF|=

因此,抛物线的方程为y2=3x。

评注:求抛物线的标准方程就是求参数p的值,这个值可根据抛物线的定义并借助几何法求得,从而避免了烦琐的代数运算。

三、定义助我求比值

例3已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线F A与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=( )。

图4

解析:如图4所示,过点M作MH⊥l,由抛物线定义知|MF|=|MH|,所以|M F|∶|MN|=|MH|∶|MN|。

故答案为C。

评注:本题与例2相似,利用抛物线的定义和图形特征,把解析几何问题转化为平面几何问题,大大减少了计算量。

四、定义助我求面积

例4设O为抛物线的顶点,F为抛物线的焦点,且P Q过焦点的弦,若|O F|=a,|P Q|=b,求△O P Q的面积。

解析:因为P Q过焦点,所以|P Q|可看成两个焦半径之和。

如图5,不妨设抛物线方程为y2=4a x,P(x1,y1),Q(x2,y2)。

则由抛物线定义知:

图5

故x1+x2=b-2a。

由于P Q为过焦点的弦,因此,y1y2=-4a2。

评注:将焦点弦分成两段,利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示,结合方程,利用根与系数的关系是常见的基本技能。本题计算三角形面积的技巧,也是抛物线中经常用到的,必须掌握。

五、定义助我求最值

例5已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|P A|+|P F|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标。

解析:将x=3代入抛物线方程y2=2x,得

因为 6＞2,所以A在抛物线内部。如图6,设抛物线上点P到准线的距离为d,由定义知|P A|+|P F|=|P A|+d。当P A⊥准线l时,|P A|+d的值最小,最小值为,即|P A|+|P F|的最小值为,此时P点纵坐标为2,代入y2=,点P的坐标为(2,2)。

图6

评注:与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关。由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度。“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要方法。