基于磷烯的三端弹道结

洪金斌， 翟 峰

(浙江师范大学 物理与电子信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

纳米加工技术的发展使得器件的特征尺寸能够小于电荷载流子的平均自由程，让电荷载流子在器件内作弹道输运.由于电子输运的弹道特征，三端弹道结能显现出非线性的电学性质.对左右对称的Y型三端弹道结的理论研究表明，当对2个对称端施加推拉式(push-pull fashion)的输入电压时，输出电压正比于输入电压的平方[1].当其中一个对称端接地时，输出电压在负输入电压下线性递增,并于正输入电压下趋于饱和[2].实验组在GaAs/AlGaAs异质结、GaInAs/InP异质结等制成的T型三端弹道结上施加2种方式的输入电压时，即使在室温下，也能观测到与Y型三端弹道结理论相吻合的结果[3-5].当T型三端弹道结的尺寸增大到几μm时(远大于材料中电子的平均自由程)，或者将材料从III-V族半导体异质结变为硅，推拉式电压输入得到的输出电压仍然能表现出向下弯曲的弹道电学特性[6-8].具备非线性电学性质的三端弹道结已被几个实验组制成整流器、混频器、开关和逻辑门器件[9-13].

石墨烯虽然具有非凡的电学性能[14]，但却不适合成为像场效应晶体管这类需要有限电子带隙的高性能器件的制造材料.在其他材料的选择上，过渡金属硫化物(如二硫化钼[15])受限于不高的载流子迁移率，硅烯只能在金属表面合成[16].黑磷烯不受上面情况的限制，具有更大的应用潜力.黑磷烯是一种层状材料，层与层之间由弱范德瓦尔斯力耦合在一起，磷原子的sp3轨道杂化形成层内原子间的化学键.单层磷烯由磷原子褶皱状排列组合形成，类似于石墨烯的蜂窝结构.这样的原子结构使得其对电子传输和光学特性都具有高度的各向异性[17-19].单层黑磷烯在armchair(扶手椅形)方向与zigzag(锯齿形)方向上电荷载流子的有效质量和迁移率存在明显的差异，在armchair方向上，电子的迁移率为1 100～1 400 cm25V-15s-1，远高于zigzag方向的800 cm25V-15s-1[20].从块体黑磷到单层磷烯，随着磷烯层数的减少，直接带隙[21]从0.3 eV变化至1.5 eV，带隙的大小还能通过外加电场、掺杂浓度及应变大小的改变进行调控[22-23]，能隙范围正好桥接与无能隙的石墨烯和过渡金属硫化物的能隙之间.研究以磷烯为材料制成的三端弹道结的电学性质，不仅能拓宽磷烯材料的应用领域[24]，还能为纳米器件的发展提供动力.

1 模型和公式

图1 T型磷烯三端弹道结示意图

图2 磷烯材料的俯视图和三维视图

T型磷烯三端弹道结如图1所示，其中斜线区域表示外接的导线，Vl,Vr,Vm与μl,μr,μm是3个端的电压与化学势，l，r，m分别表示三端弹道结的左端、右端和中间端.图2(a),(b)是图1截取的一部分磷烯的俯视图和三维视图，空心球和实心球分别代表上下层的磷原子，x轴沿着armchair方向，y轴沿着zigzag方向.为了研究磷烯三端弹道结中电荷输运的非线性特性，笔者采用单层磷烯的四带紧束缚模型哈密顿[25-27],即

(1)

因黑磷烯能带的各向异性，本文可构造2种T型三端弹道结：一种是右端边缘为armchair；另一种是右端边缘为zigzag.3个端突出部分的长度都是5 nm，宽度都是20 nm.根据T型的对称性，左右两端的边缘形状相同，而与中间端边缘形状不相同.结合Landauer-Büttiker输运理论，得到各个端净电流及热流与3个端化学势之间的函数关系[28-30]：

(2)

(3)

(4)

式(2)～式(4)中：i，j，k同样指代左、右、中3个端中的任一端;Ii，Qi分别是i端的净输出电流和热流;Tij(E) 是能量为E的入射电子从j端各个入射通道散射到i端的概率之和 (后文称之为总透射概率)，其值可超过1;化学势μi=EF-eVi,EF是系统在零偏压下的电化学势(费米能)；e是电荷元的电量；h是普朗克常数；kB是玻尔兹曼常数；T是温度.笔者用kwant软件[31]计算三端体系的散射矩阵得到Tij.沿用多数三端弹道结的研究思路，只考虑输出信号为电压、且输出端净电流为零的情形.根据Landauer-Büttiker公式，输出端净电流为零的条件决定了输出端的化学势对输入端化学势的非线性函数依赖关系，再通过换算可得到输出端电压与输入端电压之间的关系.

2 结果和讨论

2.1 透射概率

输出电压信号对输入电压信号的依赖形式由系统的透射谱决定.磷烯三端弹道结的透射谱如图3所示.图3中,Trl,Trm分别代表左端到右端和中间端到右端的透射曲线，虚线是对应的幂函数拟合曲线，“A”表示右端边缘为armchair的体系，“Z”表示右端边缘为zigzag的体系.左端导线的导带底设置为能量的零点.在磷烯材料中，armchair方向电子的传输通道数更多，电子沿着armchair方向传输通过的概率比沿着zigzag方向大，所以Trl(A)曲线的总透射概率显著高过Trl(Z)曲线的总透射概率；三端弹道结的对称性让中间端到左右两端的透射曲线差异极其微小.本文选取的研究体系尺寸远小于电子的平均自由程，弹道性让电子能够继续保持入射的方向，再加上zigzag方向通道数少，使得armchair输入端到zigzag输出端的透射概率被压制得极低.随着入射能的不断增大，电子透射不再只依赖于端之间的通道数，能很轻易地从两个平行端弹射出去，让zigzag到zigzag的总透射概率显著增大，甚至超过zigzag到armchair的透射概率.入射能较低的时候，各端的通道数比体系形状更能影响电子的传输能力.0～1.2 eV，透射曲线与入射能的幂函数能很好地拟合，Trl(A),Trm(A),Trl(Z),Trm(Z)分别对应24.80E0.52,6.43E0.59,8.00E0.81,7.80E0.53.其中，E是以eV为单位的入射能数值.这些幂函数的指数比较接近，而Trl(Z)曲线由于通道数限制下平行端之间的透射能力更突出，拟合后幂函数的指数更大.

2.2 推拉式电压输入时的输出电压特性

为了考察输出信号对输入信号的非线性依赖，笔者首先考虑对2个输入端施加推拉式的相反电压，使2个输入端的偏压ΔV=2|V|，两端的化学势能之差Δμ=2e|V|.由于该体系形状结构的特殊性，只需考虑2种情形：1)输入端为左右两端，Vr=V,Vl=-V；2)输入端为左中两端，Vm=V,Vl=-V.当左右两端施加推拉式电压时，输出电压随Vr变化的曲线如图4所示.无论是改变费米能位置，还是改变外界温度，输出端电压曲线都是呈向下弯曲的走势，数值上趋向于负电压端.由于这种T型三端弹道结透射通道的对称性，所以，输出电压曲线是关于Vr=0对称.在中间端净电流Im=0，Tlm=Trm的条件下，根据式 (2),将函数f(E,T) 作泰勒展开，可得[1]

图4 不同温度、费米能下三端弹道结的中间端输出电压 Vm与右端输入电压 Vr 之间的关系

(5)

由于Vl=-Vr，所以，幂次为奇数的项对Vm没有贡献，从而二次项系数(单位:V-1)为

(6)

图4的插图是低偏压下三端弹道结在费米能EF为0.10 eV和0.01 eV时的输出电压曲线及-3.22Vr2，-10.60Vr2这2条拟合曲线，所取温度T=300 K.当Vr<0时，中间端净电流可以等效为右端到中间端和中间端到左端的合电流.当T=0 K时，从右端流向中间端的电子能量范围为[μr-Δμ1,μr]，其中，Δμ1=-eVr+eVm.从中间端流向左端的电子能量范围为[μm-Δμ2,μm]，其中，Δμ2=-eVr-eVm.由于右端到中间端的入射能比较高，透射能力更强，所以,只有当Δμ1<Δμ2时才能保证合电流为零.升高费米能，右端与中间端电子入射能增大，总透射概率随入射能的变化率减小，Δμ1增大才能平衡流入流出的电流，因此，Vm随之增大.对于二维体系，升高温度会导致化学势的降低，输出电压随之升高.当T=30 K时，导带中能量与费米能级相差26 meV的电子参与输运，电子数少，导致对应的输出曲线出现微小振荡.在费米能较低时，温度对输出电压曲线有显著影响.

图5给出了输入端为左中两端时，输出电压Vr随中间端输入电压Vm的变化曲线.其中:图5(a)右端边缘为armchair;图5(b)右端边缘为zigzag.中间端与左端这样的非对称端输入导致输出电压曲线不再关于Vm=0对称.弹道输运的特性，同样让输出电压曲线向下弯曲.在右端净电流Ir=0的条件下，可得

(7)

其中输出电压表达式中各项的系数分别为：

(8)

(9)

对于右端边缘为armchair的体系，当Vm大于0时，左右端的透射概率远远高于中间端到两端的透射概率，右端的化学势更加向左端化学势靠近才能平衡右端的2个分电流.二次项系数γ<0，一次项系数中,Trm-Trl<0，β<0，右端输出电压随中间端的输入电压单调递减变化，使得输出电压小于零.在Vm大于0的情形，温度对输出电压几乎没有影响.随着中间端化学势的不断升高，中间端参与输运的电子增多，补偿了此时较小的透射概率，使得右端的化学势向中间端的化学势靠拢.因此，输出端的电压增大到正值后又开始降低.

对于右端边缘为zigzag的体系，由于在低偏压下中间端向两端的透射能力强于左右两端之间的透射能力，Trm-Trl>0，β>0，二次项系数γ<0,所以在中间端处于低压端的时候出现输出电压的单调递增区.非负的输出电压出现在Vm>0的那一边.提高费米能同样使得输出电压曲线更平缓.与右端边缘为armchair的体系相比，这种体系的输出电压随温度变化较为明显，线性区范围较窄(|β|<|γ|)，输出电压极大值的绝对值更小.

(a)A体系 (b)Z体系

2.3 热流特性

当体系左右两端为输入端时，由于结构的对称性，2个输入端的热流曲线关于Vr=0对称，输出端热流曲线也关于Vr=0对称 [见图6(a)].由于没有净电流，输出端热流很微弱.Vr>0时，输入端是armchair边缘的体系左右端之间的透射能力远远超过中间端到左右两端的透射能力，也远大于输入端是zigzag边缘的体系中各端之间的透射能力.因此，在高费米能下，输入端是armchair边缘体系的左右两端热流大于输入端是zigzag边缘体系的热流.

当体系的2个输入端不对称(左中两端为输入端)时，中间与左边两个输入端之间的热流由于入射能的范围更大，对这2个输入端总热流贡献最大，使得2个输入端高热流还是出现在低化学势那一端[见图6(b)].比较右端边缘为armchair的体系与右端边缘为zigzag的体系，虽然左右两端之间透射能力在2种体系中相差很大，导致二者左输入端的热流差异显著，但右端化学势的偏置使得二者中间输入端的热流差别很小.输入端较大的热流会让三端弹道结局部发热，所以需要适当地控制掺杂浓度，削弱热量分布不均匀对器件功效的影响.

2.4 固定一个输入端电压时的输出电压特性

最后，笔者改变输入电压施加的方式，讨论磷烯三端结的二极管和三极管特性.此时取左端电压为控制信号，中间端电压与右端电压一个为输入信号，另一个为输出信号,计算结果如图7所示.在T=300 K，EF=0.10 eV时，对左端施加不同的控制电压，当输出端没有净电流时，输出端电压在达到饱和电压Vmax之前随输入电压单调递增.Vmax可以通过Vl进行调控.在Vl增大到大于零以后，增长率也趋于饱和值kmax.右端为输入端时，A,Z 2种体系的输出电压随输入电压变化趋势完全相同.当中间端为输入端时，右输出端边缘为zigzag的三端弹道结输出电压曲线更为密集，kmax更大，输出电压曲线趋势跟普通三极管的输出曲线很像.三端弹道结一方面能将左端正的脉动直流电压矫正为恒定电压并从中间端输出;另一方面还能充当限压器，即通过调节Vl的大小，将输出电压限制在不同的电压下.Vl=0或Vl=-0.10 V时，右输出端边缘分别为zigzag与armchair的三端弹道结在Vr<0时有反向输出电压，而在Vr>0时几乎没有输出电压.这符合二极管单向导通和三极管开关功能的特征.

(a)对称端输入 (b)非对称端输入

图7 在T=300 K，EF=0.10 eV，左端电压Vl为额定电压时，输出电压随输入电压的变化关系

3 结 论

本文模拟了以高迁移率的磷烯为材料的T型三端弹道结在不同温度、费米能下的输运特性.材料的各向异性与三端弹道结的弹道特性结合，让输出特性更加丰富.在常温条件下，对称输入端施加推拉式电压时的输出特性能够胜任整流器；在非对称输入端施加推拉式电压时，右端armchair边缘的三端弹道结适用于‘或’逻辑门，而右端zigzag边缘的三端弹道结能够适用于‘与’逻辑门.本文还讨论了三端弹道结在推拉式电压下的热流特性.通过控制一个输入端的电压，可让体系发挥电压二极管和三极管的作用.一种器件就能实现如此多的功能，是纳米电子器件发展所期望达到的目标.