妙用“同旁内角”说明三角形内角和180°

彭颖璨

课本“7.5多边形的内角和与外角和”提到小学里就发现了三角形的内角和是180°，但并没有严谨地说明理由。接著“议一议”的图形变换与探索让我们感受到三角形内角和是180度的理由。

如图1，直线MN经过△ABC的顶点A，MN∥BC。如图2，延长BC，在点C右边依次取点C2，C3，C4，…，Cn，连接AC2，AC3，AC4，…，ACn。请比较“∠B+∠BAC2” 与“∠B+∠BAC3”的大小；并思考“∠B+∠BACn”的大小规律，你能说明理由吗？

可以发现：让点C动起来后，只要点C在直线BC上，“∠B+∠BAC2” 是小于“∠B+∠BAC3”的，其关键是比较“∠BAC2” 与“∠BAC3”的大小。相应的就有“∠B+∠BACn”的大小规律是越来越大，理由是∠BACn的度数会越来越大。但是只要点C仍然在直线BC上，∠B+∠BACn的角度是不可能达到180°的。这是为什么呢？

下面我们逆向来分析。假设∠B+∠BACn的角度达到180°，就可以构造出如图3的示意图，此时，根据同旁内角互补，两直线平行，应该有AC′∥BC，而这与三角形的定义中所规定的三条线段首尾顺次相接形成的图形相矛盾，所以∠B+∠BACn的角度是不可能达到180°的。

顺势扩大认识，仍然以图3为例，也就可以说明三角形内角和为180度的理由了。

由MN∥BC，可得∠NAB+∠B=180°，∠NAC=∠C，这样就有∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形内角和为180度。

教师点评

对于七年级学生来说，三角形内角和为180°已经是“显而易见”的直觉结论了，但是进入初中以后，几何学习的特点是并不满足于直觉所见，而是需要挖掘直觉背后的必然性，或者分析直觉可能的错觉。事实上，数学之所以为数学，就在于它既需要直觉与想象，又需要理性的验证，缺一不可。这方面的例子，同学们在“对顶角相等”的学习中应该也已感受到了，以后还会有更多类似的案例，可以再次积累和体会。想到大数学家陈省身先生一次语出惊人地说：“你们都说三角形内角和是180°，这是不对的！”很多人歪曲理解陈先生的表述，因为在这句话的后面，陈先生接着表达的是“称三角形的外角和为两个平角更好些”。聪明的同学，你能想得通为什么大数学家陈省身先生更推崇三角形外角和为360°吗？我想，大概是因为这个“周角360°”会是一个定值，可一般化、推广到四边形外角和、五边形外角和、n边形外角和都是定值360°吧！ （指导教师：刘东升）