巧用“分类思想”数一数

刘跃

同学们面对数线段、数角的问题经常感觉“头痛”，在这里给大家介绍一种既不重复又不遗漏的好方法——分类思想，它是根據数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

例1 如图1，请你数一数，图中一共有多少条线段？

【分析】如果一条一条地去数，很可能遗漏或重复。如果我们能够将这些线段进行归类，然后再一类一类去数，就比较容易了。

仔细观察，我们就会发现，线段有且只有两个端点，左右各一。所以，我们可以将线段的左端点进行分类。比如图1中，我们把线段AB、AC、AD等以点A为左端点的线段归为一类，把线段BC、BD、BE等以点B为左端点的线段归为一类，等等。

按照这个思路，图1中的线段一共可以分成5类：以A为左端点的线段一共有5条，以B为左端点的线段有4条，以C为左端点的线段有3条，以D为左端点的线段有2条，以E为左端点的线段有1条，以F为左端点的线段有0条。于是我们可求出共有多少条线段。

解：5+4+3+2+1=15（条）。

例2 如图2，请你数一数，图2中一共有多少个锐角？

【分析】我们不妨作一条直线与各边相交，如图3。设这条直线与各边的交点依次是A、B、C、D、E、F。于是，我们看到，每个小锐角的顶点都是O点，每个锐角都对着一条线段，即∠AOB对着线段AB、∠BOC对着线段BC……这就是说在线段AF上的每一条线段都对应着一个锐角，因而只要知道有多少条线段，就一定有多少个角。求角的问题又转化成了求线段问题，有了例1的铺垫，同学们解答起来应该驾轻就熟，不成问题。

解：5+4+3+2+1=15（个）。

到这里，问题似乎已经完全解决了。但仔细思考一下，我们会有新的发现：在图1中，像AB、BC、CD、DE、EF这样的小线段一共有5条，我们给它们依次标上编号1、2、3、4、5，所求线段总条数为5+4+3+2+1=15（条）；同样的，我们在图2中给那些小锐角依次标上编号1、2、3、4、5，所求角的总个数为5+4+3+2+1=15（个）。归纳起来就是：先将所分成的短线段或小角依次编上号，然后将所有号数相加，这个和就是所求的线段的总条数或角的总个数。

如果我们再仔细观察一下图1与图2，就会发现图1共有点6个，图2共有射线6条，所求的线段总条数或角的总个数都可以用6×（6-1）÷2=15来表示。也就是说，设有n个点（或射线），则共有线段（或角）的数量为：n×（n-1）÷2来计算，同学们可以自己研究一下。

（作者单位：江苏省常州市新北区薛家中学）