巧解二类分组计数原理问题

马江英 施建昌

(1.浙江省绍兴市柯桥区钱清中学 312025；2.浙江省绍兴市柯桥区教师发展中心 312030)

在近几年的高考中，计数原理是高考考查的重要知识点，是数学中的重要研究对象之一，其中的分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.与分配有关的计数原理问题一直是高考的热点，从考查的题型上看主要涉及平均分组和不平均分组二类典型问题，下面从二类典型问题和涉二类问题的综合问题三个方面进行例说.

一、平均分组问题

例1 为迎接2020年东京奥运会，日本某校举行奥运知识竞赛，经初选后，有12名同学获得参赛资格.这12名选手要分成4个小组，每组3人，那么不同的分组方法有____种.

评注此题是一个平均分组问题，主要是要注意根据平均分组原则进行解题.平均分组问题的方法是解决有关分组问题的根本方法，在解题时要注意正确使用.

二、不平均分组问题

例2 将语文、数学、外语、物理、化学、生物这六本课外辅导读物赠送给某希望工程学校的四名学生阅读，每人至少一本，至多2本，则恰好有一人同时获得物理、化学两本书的概率是( ).

评注分组问题中对于不平均分组问题的组合数一般不必除以某一个数的阶乘数，但对于含有平均分组成分的则需要按不平均分组的原则进行计算.

三、分组综合问题

分组综合问题就是指在分组中既含有平均分组的情况，也含有不平均分组的成分，在解题时要注意综合考虑，并特别掌握好各种分组情况的解法和注意事项.

例3 将7个人(含甲、乙)分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a,p的值分别为( ).

甲、乙分在同一组的方法种数有以下两种情况，

评注这是一个分组综合问题，第一问涉及到平均分组与不平均分组两种情况，对于每组2人的两组是平均分组，而3人组就是不平均分组，这类问题的求解方法要特别注意.第二问主要是对于甲、乙分到同一组的情况有两种，即在3人组或在2人组，要分类讨论.像这样的分组问题，特别是不完全平均分组问题，对于平均分组的问题在计算组合数时要除以相同个数的组数的阶乘数，而不相同的个数不必计算在阶乘数内.

分组问题中的平均分组问题与不平均分组问题处理方法是不一样的，要特别注意“不平均分组问题”的情况及“含有平均和不平均分组的交汇问题”的情况的区别与联系，掌握原则是：涉及平均分组时，在分组时对于分好组的组合数还应除以相同个数的组数的阶乘数. 这类问题往往需要注意排列、组合计算公式的应用，并学会将复杂事件分解为若干简单事件进行处理.