聚焦高考统计知识的热点问题

■刘大鸣（特级教师）

近几年高考对统计的考查主要是围绕“抽样方法，茎叶图，频率分布直方图，样本的数字特征，回归分析”等核心考点展开的，着重考查同学们应用统计知识解决实际问题的核心素养。下面以近几年高考试题为载体进行全方位的考点聚焦，希望对同学们的学习有所帮助。

热点1：分层抽样问题

例1甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测。若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总件数为____。

解：由题设可得抽样比为设甲设备生产的产品为x件，则，可得x=3000。故乙设备生产的产品总件数为4800—3000=1800。

品味：当个体差异较大时，常采用分层抽样法。分层抽样就是按比例抽样，根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比k=确定第i层应抽取的个体数为k（Ni为第i层包含的个体数），当k不是整数时，要从总体中剔除多余的个体。

变式1：某工厂生产甲，乙，丙，丁四种不同型号的产品，产量（单位：件）分别为200，400，300，100。为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取的件数为____。

提示：依据分层抽样为按比例抽样的特点确定抽样比为，故抽取的件数为60×，即应从丙种型号的产品中抽取的件数为18。

热点2：根据扇形统计图合理进行判断

例2已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示。为了解该地区中小学学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）。

图1

图2

解：根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量。计算分层抽样的抽样比，求得样本中的高中生人数，利用图2求得样本中抽取的高中生近视人数。

由图1可知，总体个数为3500+2000+4500=10000，由此可得样本容量为10000×2%=200。

品味：把握统计图表的意义，合理运用统计图表的数据，借助计算进行推理判断，凸显对数据收集和应用的核心素养的考查。

变式2：某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图3所示，则该校女教师的人数为（ ）。

图3

提示：由图3可知该校女教师由初中的和高中的组成，其人数为77+60=137。应选B。

热点3：利用茎叶图的数据求样本的数字特征

例3某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式。为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式。根据工人完成生产任务的工作时间（单位：m i n）绘制了茎叶图，如图4所示。

图4

根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高。请说明理由。

解：由茎叶图中的数据可知，第二种生产方式的效率更高。理由如下：

（1）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中有75%的工人完成生产任务所需时间至少80m i n，用第二种生产方式的工人中有75%的工人完成生产任务所需时间至多79m i n。因此第二种生产方式的效率更高。

（2）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5m i n，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5m i n。因此第二种生产方式的效率更高。

（3）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80m i n，用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80m i n。因此第二种生产方式的效率更高。

（4）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在“茎8”上的最多，关于“茎8”大致呈对称分布，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在“茎7”上的最多，关于“茎7”大致呈对称分布，且用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少。因此第二种生产方式的效率更高。

品味：在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分。从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失，且茎叶图便于记录和表示。借助茎叶图的数据可以求样本的数字特征。

变式3：已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图5所示，则中位数和众数分别为（ ）。

图5

提示：由茎叶图可知，中位数为92，众数为86。应选B。

热点4：利用频率分布直方图的数据估计总体数据

例4随着互联网的发展，移动支付（又称手机支付）越来越普遍，某学校兴趣小组为了解移动支付在大众中的熟知度，对15～65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是：你会使用移动支付吗?其中回答“会”的共有n人。

把这n人按照年龄分成5组，即第1组为［15，25），第2组为［25，35），第3组为［35，45），第4组为［45，55），第5组为［55，65］，然后绘制成如图6所示的频率分布直方图。其中第1组的频数为20。

（1）求n和x的值。

（2）根据频率分布直方图估计这组数据的众数、中位数、平均数、方差。

解：（1）由题意可知

由10×（0.02+0.036+x+0.01+0.004）=1，解得x=0.03。

（2）由频率分布直方图可估计这组数据的众数为30。

设中位数为m，则各组频率分别为0.2，0.36，0.3，0.1，0.04，且0.2+0.36＞0.5，可知中位数在第2组中，所以0.2+0.036×（m—25）=0.5，解得m≈33.3，即中位数约为33.3。

方差s2=（20—34.2）2×0.2+（30—34.2）2×0.36+（40—34.2）2×0.3+（50—34.2）2×0.1+（60—34.2）2×0.04=108.36。

品味：在频率分布直方图中，每个小长方形的面积就是相应的频率，所有小长方形的面积之和为1。用样本的数字特征估计总体的数字特征时，众数是样本数据中出现次数最多的数据，反映在频率分布直方图中，对应小长方形的面积应最大，所以用最高小长方形底边中点横坐标估计众数；中位数是频率分布直方图中的左右面积等分线对应的数值（横坐标）；用频率分布直方图中每个小长方形的面积pi乘以小长方形底边中点的横坐标xi之和估计样本平均数，计算公式为，方差计算公式

变式4：某学校为了解小学生的体能情况，抽取了该校不同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图7）。已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数是5。

（1）求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数。

（2）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内?

（3）参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计学生跳绳成绩的优秀率。

提示：（1）第四小组的频率为1—（0.1+0.3+0.4）=0.2。因为第一小组的频数为5，第一小组的频率为0.1，所以参加这次测试的学生人数为5÷0.1=50。

（2）由频率分布直方图可知，0.1×50=5，0.3×50=15，0.4×50=20，0.2×50=10，则第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5，15，20，10。所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内。

（3）由第三、四小组的频率，可知学生跳绳成绩的优秀率为（0.4+0.2）×100%=60%。