数列通项公式的几种求法

■河南省沈丘县第一高级中学 王俊义

一、累加法

例1 已知数列{an}满足an+1=an+,求数列{a}的通n项公式。

解析：由已知得

二、构造法

例2 在数列{an}中,求数列{an}的通项公式。

解析：由

三、对数变换法

例3 已知正项数列{an}满足：a1=1,如果对任意正整数m都成立,求λ的最小值。

解析：对于等式两边取以10为底的对数得l gan+l gan+1=,整理得(l gan+

由已知anan+1≠1知

所以数列{an}是以1为首项,10为公比的等比数列,an=10n-1。

四、特征根法

例4 用1,2,3三个数字来构造n位数,但不允许有两个紧挨着的1出现在该n位数中,问：能构造多少个这样的n位数?

解析：设能构造an个符合条件的n位数,易知a1=3,a2=8,当n≥3时,如果该n位数第一个数字是2或3,那么这样的n位数有2an-1个,如果该n位数第一个数字是1,那么第二个数字只能是2或3,因而这样的n位数只能有2an-2个,于是递推关系为an=2an-1+2an-2,n=2,3,4,…

如果规定a0=1,先解特征方程x2=则可令

再由a0=1,a1=3得α1+α2=1,,解 得α1=故

评注：对于递推关系为an+2=c1an+1+c2an(c1,c2为常数,c2≠0)的数列,它的特征方程为x2=c1x+c2。

定理：设x1,x2是特征方程x2=c1x+c2的两个根。①当x1≠x2时,an的一般表达式为an=α1xn1+α2xn2;②当x1=x2时,an的一般表达式为an=(β1+β2n)xn1,这里的α1,α2,β1,β2都是由初始值确定的常数。(证明略)

五、不动点法

例5 设数列{an}满足：a0=2,an=,求a。n

解析：令,得x=-2,x=3,12这是函数的两个不动点,则有,所以数列是以为首项,-4为公比的等比数列,故

六、待定系数法

例6 如图1,将一个圆分成n（n≥2）个扇形区域,现用k（k≥2）种不同颜色对这n个区域涂色,要求相邻区域颜色不同,问：有多少种不同的涂色方法?

图1

解析：有k种不同颜色对n个区域涂色,记种数为an(n≥2,k≥2),易知：A1有k种涂法,A2有k-1种涂法,…,An有k-1种涂法(不论是否与A1同色),共有k(k-1)n-1种涂法,但这k(k-1)n-1种涂法分两类：一类是An与A1不同色;另一类是An与A1同色,可看作An和A1合成一个区域,即an-1,得递推关系an+an-1=k(k-1)n-1,即an=-an-1+k(k-1)n-1。令an+x(k-1)n=-[an-1+x(k-1)n-1],则an=-an-1-k(k-1)n-1x,而an=-an-1+k(k-1)n-1,两式比较得x=-1。从而an-(k-1)n=-[an-1-(k-1)n-1],故数列{an-(k-1)n}是公比为-1的等比数列。又a2=k(k-1),a2-(k-1)2=k-1,故an-(k-1)n=(k-1)(-1)n-2,即an=(k-1)n+(-1)n(k-1)(n为区域数,k为颜色种数)。

评注：对于形如an+1=k an+f(n)的递推式,常用待定系数法构造等比数列(不一定是等比数列)形式的数列,进而求出通项公式。