自主招生真题赏析(一)——考查力与运动部分

■江苏省六合高级中学 常仁飞

分析近几年自主招生试题中对力和运动部分的考查内容不难发现,考查的知识点包括高中物理全部内容和大学普通物理大部分内容,如静力学、运动学、动力学、能量、动量等。考生需要重点研究的物理模型有斜面模型、叠加体模型、含弹簧模型(动力学)、动量和能量相关的碰撞模型、水平方向的圆盘模型、行星模型、人船模型等。考生需要熟练掌握的物理思想方法有微元法、等效法、补偿法等。下面精选考查频率较高的六个方向来赏析,希望对立志于参加自主招生考试的同学有一定的借鉴作用。

考向一：平动平衡和转动平衡的综合应用

例1(北约)车轮是人类在搬运东西的劳动中逐渐发明的,其作用是使人们能用较小的力量搬运很重的物体。假设匀质圆盘代表车轮,其他物体取一正方形形状。我们现在就比较在平面和斜面两种情形下,为使它们运动(平动、滚动等)所需要的最小作用力。假设圆盘半径为b,正方形物体的边长也为b,它们的质量都是m,它们与水平地面或斜面间的动摩擦因数都是μ,给定倾角为θ的斜面。

(1)使圆盘在平面上运动几乎不需要作用力。使正方形物体在平面上运动,需要的最小作用力F1是多少?

(2)在斜面上使正方形物体向上运动所需的最小作用力F2是多少?

(3)在斜面上使圆盘向上运动所需要的最小作用力F3是多少?限定力F3沿斜面方向。

解析：(1)设使正方形物体在平面上运动所需的最小作用力F1的方向与水平面间的夹角为α,如图1所示,则F1cosα=f,N+F1sinα=mg,f=μN,解得设sin代入上式得F1=当α+φ=90°时,F1取最小值

图2

(2)设在斜面上使正方形物体向上运动所需的最小作用力F2的方向与斜面间的夹角为β,如图2所示,则F2cosβ=f+mgsinθ,N+F2sinβ=mgcosθ,f=μN,解得设sinφ=,代入上式得F2=当β+φ=90°时,F2取最小值

图3

(3)如图3所示,圆盘沿斜面向上滚动,斜面提供沿斜面向上的摩擦力f,相对于圆盘与斜面的接触点,力F3的最大力臂为2b,则2F3b=mgbsinθ,F3+f=mgsinθ,N=mgcosθ,f=μN,解得μ=若,则若μ＜则F3=mg(sinθ-μcosθ)。

点评：本题以车轮为切入点,意在考查共点力平衡条件、力矩平衡条件、力的分解、摩擦力等知识。选题贴近生活实际,主要考查考生综合应用学习过的力学知识和数学知识解决生活中的实际问题的能力。难度略高于高考难度。

考向二：牛顿运动定律的综合应用

例2(卓越)如图4所示,可视为质点的两物块A、B,质量分别为m、2m,物块A放在一倾角θ=30°并固定在水平面上的光滑斜面上,一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮,两端分别与物块A、B相连接。托住物块B使两物块处于静止状态,此时物块B距地面的高度为h,轻绳刚好拉紧,物块A和滑轮间的轻绳与斜面平行。现将物块B从静止释放,斜面足够长。重力加速度为g。求：

图4

(1)物块B落地前,轻绳中的张力T。

(2)整个过程中,物块A沿斜面向上运动的最大距离L。

解析：(1)设物块B落地前两物块加速度的大小为a,对于物块A取沿斜面向上为正方向,对于物块B取竖直向下为正方向,由牛顿第二定律得T-mgsinθ=m a,2mg-T=2m a,解得T=mg,a=g。

(2)由(1)得a=g；设物块B落地前瞬间物块A的速度为v,物块B自下落开始至落地前瞬间的过程中,物块A沿斜面运动的距离为h,由运动学公式得v2=2a h；设物块B落地后,物块A沿斜面运动过程中的加速度为a',则a'=-gsinθ；设物块B落地后物块A沿斜面向上运动的最大距离为s,由运动学公式得-v2=2a's。联立以上各式解得s=h。因此整个过程中,物块A沿斜面向上运动的最大距离L=s+h=2h。

点评：本题以连接体问题为背景,意在考查受力分析、力的分解、牛顿第二定律等知识。本题主要考查考生综合应用牛顿运动定律解决连接体问题和多过程问题的能力。难度非常接近高考难度。

考向三：运动的合成与分解

例3(华约)如图5所示,小球从台阶上以一定初速度水平抛出,恰落到第一级台阶边缘,反弹后再次落下,经0.3s恰落至第3级台阶边界。已知每级台阶宽度及高度均为18cm,取g=10m/s2,且小球反弹时水平速度不变,竖直速度反向,但变为原速度的。

图5

(1)求小球抛出时的高度及距第一级台阶边缘的水平距离。

(2)小球是否会落到第5级台阶上?请说明理由。

解析：(1)设台阶的宽度和高度为a,小球抛出时的水平初速度为v0,第一次与台阶碰撞前、后的速度的竖直分量(取竖直向上为正方向)的大小分别为vy1和vy'1,小球两次与台阶碰撞的时间间隔为t0,则a=18cm=0.18m,t04vy1',解得vy1=v0=1.2m/s。设小球从第一次抛出到第一次落到台阶上的时间为t1,落点与抛出点之间的水平距离和竖直距离分别为x1和y1,则,解得y1=0.072m,x1=0.144m。

(2)设小球第二次与台阶碰撞前速度的竖直分量大小为vy2,则vy22-vy'12=2g·2a,解得vy2=2.7m/s,可见vy2＞vy1。小球反弹后再次落下到与第3级台阶相同的水平位置所用的时间将大于0.3s,水平位移将大于2a,所以小球不会落到第5级台阶上。

点评：本题以台阶上平抛小球为切入点,类似的情境曾在平抛运动中见过,但是题设的条件和设问方式大有不同。本题意在考查平抛运动规律、竖直上抛运动、运动的合成和分解等知识的灵活运用。考生若用斜抛运动规律进行求解,反而会显得复杂,可见本题不仅重在考查考生应用运动的合成与分解解决问题的能力,而且更为本质的是考查考生灵活应用等效法的能力,很好地体现了对课程标准要求的过程与方法目标的考查。

考向四：万有引力定律的综合应用

例4(清华大学等五校)如图6所示,卫星携带一探测器在半径为3R(R为地球半径)的圆形轨道上绕地球飞行。在a点,卫星上的辅助动力装置短暂工作,将探测器沿运动方向射出(设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略)。若探测器恰能完全脱离地球的引力,而卫星沿新的椭圆形轨道运动,其近地点b距地心的距离为n R(n略小于3),求卫星与探测器的质量比。(质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为,式中G为引力常量)

图6

解析：设地球质量为M,卫星质量为m,探测器质量为m',当卫星和探测器一起绕地球做圆周运动时,由万有引力定律和牛顿第二定律得解得设分离后探测器速度为v',探测器刚好脱离地球引力应满足,解得设分离后卫星速度为u,近地点速度为vb,则,解得。由分离前后动量守恒得(m+m')v=m u+m'v',解得

点评：本题以卫星抛射探测器为背景,意在考查万有引力定律、动能定理、动量守恒定律等知识。试题注重对基本模型和基础概念理解程度的考查,要求考生在理解的基础上灵活应用。难度略高于高考难度。

考向五：动能定理

例5(北约)某车辆在平直路面上进行行驶测试,测试过程中速度v(带有正负号)和时间t的关系如图7所示。已知该过程中发动机和车内制动装置对车辆所做总功为零,车辆与路面间的动摩擦因数μ为常量,试求μ值。数值计算时,取重力加速度g=10m/s2。

图7

解析：对车辆正方向运动的整个过程应用动能定理得W1+Wz1-μm g x1=0-,对车辆负方向运动的整个过程应用动能定理得W2+Wz2-μm g x2=0,二式相加得W1+Wz1-μm g x1+W2+Wz2-μm g x2=根据题意知W1+Wz1+W2+Wz2=0,所以μm g(x1+x2)=由速度—时间图像知v0=2m/s,x1=21m,x2=6m,解得

点评：本题以车辆在平直路面上进行行驶测试切入,意在考查动能定理、速度—时间图像等知识。解答本题时,正确应用物理规律,规范解题过程,认真运算,显得特别重要。难度与高考难度相当。

考向六：动量守恒定律

例6(北约)平直铁轨上停着一节质量M=2m的小车厢,可以忽略车厢与水平铁轨之间的摩擦。有N名组员沿着铁轨方向列队前行,另有1名组长在最后,每名组员的质量同为m。

(1)当组员和组长发现前面车厢时,都以相同速度v0跑步,每名组员在接近车厢时又以2v0速度跑着上车坐下,组长却因跑步速度没有改变而恰好未追上车,试求N。

(2)组员们上车后,组长前进速度减为,车上的组员朝着车厢前行方向一个接一个水平跳下,组员离开车瞬间相对车厢的速度大小同为u,结果又可使组长也能追上车。试问：跳车过程中组员们总共至少消耗掉人体中的多少内能?

解析：(1)设组员全部上车后,车的速度为v,由动量守恒定律得2Nm v0=(M+Nm)v,解得组长恰好未能追上车,必有v=v0,解得N=2。

(2)设第一名组员离开后车的速度为v1,第二名组员离开后车的速度为v2,由动量守恒定律得(M+2m)v0=(M+m)v1+m(v1+u),即4v0=4v1+u,解得v1=v0-同理得(M+m)v1=M v2+m(v2+u),即3v1=3v2+u,解得可使组长也能追上车,要求,即解得为了计算临界情况,取,则,由能量守恒定律得

点评：本题以人跳上车厢为背景,考查动量守恒的条件及应用,同时考查物理学中最基础的能量守恒定律,体现了对考生综合应用动量守恒和能量守恒解决问题的能力的考查。难度很接近高考难度。

自主招生试题中关于力与运动部分的考查内容立足于现行高考要求的主干知识,显示了“基础知识是创新能力的载体、自主选拔与高考并轨”的命题意识,但为了拉开差距,还会附加部分高中未学而竞赛中常涉及的重要知识点。这样的命题模式,要求我们在自主选拔的备考中要做到“立足高考,稳扎稳打；兼顾竞赛,适当拓宽知识面”。