让压锚杆让压管长度的解析设计方法

吴福宝， 王梓芃， 夏才初,*， 邓云纲， 刘宇鹏

(1.中铁第四勘察设计院集团有限公司， 湖北 武汉 430063； 2.同济大学地下建筑与工程系， 上海 200092)

0 引言

锚杆支护能够有效提高隧道围岩的稳定性，并控制围岩变形[1]。对于普通锚杆的作用机制,国内许多学者进行了相关研究,提出了一系列指导普通锚杆设计的理论和方法。陈玉祥等[2]探讨了锚杆支护理论现状及发展趋势。王明恕[3]首先提出了全长锚固中性点理论，基于解析方法探讨了全长锚固锚杆的作用机制。董方庭等[4]研究了围岩松动圈的性质，根据松动圈的大小分类，确定了相应的锚杆支护机制及支护参数。随着隧道建设不断向更深更复杂的地层发展，高地应力软岩大变形问题愈发突出[5]，普通锚杆往往因无法承受围岩的剧烈变形而被拉断，从而失去锚固作用。为了有效控制软岩隧道的大变形，采用让压锚杆支护措施，利用让压装置的变形降低锚杆荷载，目前已经在我国得到了广泛的认可和应用[6]。在让压锚杆的设计中，让压管合理长度的确定是使让压锚杆达到预期支护效果的关键[7]。杨喻声[5]基于Hoek隧洞挤压预测经验公式的概率分析方法和ABAQUS软件，对让压锚杆的让压量进行了研究。汪波等[8]采用理论及数值分析手段对广甘高速公路杜家山隧道让压支护体系的让压量设置提出了合理建议。但上述方法仅是利用数值分析手段拟合二次衬砌压力或围岩变形与让压量的关系，缺乏对锚杆在岩体中的力学行为的考虑。朱兵兵等[7]建立了隧道围岩的组合拱力学模型，给出了确定让压距离的公式。但在组合拱理论的分析过程中未深入探讨围岩与支护的相互作用[2]，未能给出让压锚杆的轴力分布。

本文以普通锚杆中性点理论为基础，在分析锚杆与围岩之间的黏结摩阻力时考虑让压管变形引起的锚杆拉伸变形量，推导了全长锚固让压锚杆的内力计算公式，并结合昆宜高速万溪冲隧道讨论了锚杆长度及让压管长度对锚杆轴力分布的影响，最终提出了让压管长度的设计准则。当让压管长度及让压荷载均取为0时，本文的计算公式可以退化成普通锚杆中性点理论的解析解[3,9]。与现有的让压锚杆让压量设计方法[5，7-8]相比，本文解答基于围岩与支护的相互作用，可以用于推导让压锚杆的轴力分布，便于判断锚杆在剧烈变形的情况下是否破坏，可为软岩大变形隧道锚杆让压管长度的设计提供更加合理的依据。

1 全长锚固让压锚杆的模型建立

建立如图1所示的让压锚杆力学模型，计算时做如下假设： 1)隧道开挖前处于静水压力状态，原岩应力为p0； 2)隧道断面等效为半径为R0的圆形； 3)隧道围岩为连续、均匀、各向同性的弹塑性体，假定塑性区半径为Rp； 4)支护结构作用在围岩上的抗力为pi，假设pi为常数； 5)忽略锚杆变形，不考虑让压锚杆的杆体自身变形量； 6)计算中规定围岩受压为正，应变也以受压为正，位移取向隧道内部发展的方向为正。

图1 让压锚杆力学模型及内力分布规律

忽略锚杆自重，全长锚固让压锚杆在工作状态下主要受到2个外力的作用： 由于让压管屈服引起的让压荷载以及围岩对杆体表面的摩阻力。其中，摩阻力与锚杆和围岩之间的相对位移有关。靠近隧道表面的围岩体径向位移大，锚固于该区域的杆体有阻止围岩向隧道内部收敛的作用，因此杆体表面产生指向隧道内部的摩阻力； 深部弹性区内的锚杆受到靠近隧道表面杆体的拉拔作用，摩阻力指向围岩深部。杆体表面摩阻力方向的分界点称为中性点。杆体在中性点与围岩的相对位移及表面摩阻力均为0，而轴向拉力在中性点处达到最大，锚杆在中性点两侧的轴向拉力互相平衡[3,9]。

2 让压锚杆内力计算

考虑到让压锚杆对围岩的加固作用，本文采用均匀化方法将围岩与锚杆等效成均匀的复合岩体，复合岩体的材料参数[10]可取为：

(1)

(2)

(3)

式(1)—(3)中：E*、φ*、c*分别为复合岩体的弹性模量、内摩擦角和黏聚力；Eb为锚杆的弹性模量；E、φ、c分别为隧道围岩的弹性模量、内摩擦角和黏聚力；sl为锚杆的纵向间距；sh为锚杆的环向间距；rb为锚杆半径；α为锚杆密度因子。

锚杆密度因子α的计算公式[11]为：

(4)

根据岩体力学理论可知，圆形隧道周围任意点处岩体的径向位移

(5)

式中：A为位移系数；r为任意点至隧道圆心的距离。

在围岩弹性区与塑性区内，位移系数A均可采用如下公式[12]计算：

(6)

式中：μ为隧道围岩的泊松比；p0为原岩应力。

根据弹性力学理论，隧道围岩塑性区半径Rp的计算公式[12]如下：

(7)

式中：R0为隧道断面的等效半径；pi为支护结构作用在围岩上的抗力。

围岩锚固后，锚杆将随着围岩的径向变形而移动，但围岩径向位移随半径变化，使得锚杆与围岩孔壁之间产生相对位移而引起黏结摩阻力，假定黏结摩阻力的大小与相对位移成正比[3]，即

τr=K(ui-δi)。

(8)

其中：

ui=ur-um。

(9)

式(8)—(9)中：τr为单位长度锚杆上的黏结摩阻力；K为锚杆表面单位长度上的剪切刚度系数；ui为锚杆与围岩的相对剪切变形量；δi为锚杆与围岩的相对拉伸变形量；um为中性点处围岩的径向位移。

式(8)中的相对拉伸变形量δi由2部分引起： 一部分由让压锚杆的让压变形量引起； 另一部分由锚杆的自身变形量引起。忽略锚杆的自身变形，并假定由让压变形量引起的相对拉伸变形量δi沿隧道半径符合双曲线的变化规律，即

(10)

式中： ΔL为让压管的让压量；ρ为中性点至隧道圆心的距离。

考虑到全长锚固锚杆中性点两侧的轴向拉力是一对平衡力：

(11)

式中：ps为让压管的让压荷载；L为让压锚杆的锚固长度；U为让压锚杆周长。

将式(5)和式(8)—(10)代入式(11)，可得：

(12)

对式(12)进行化简，即可得到锚杆中性点的半径表达式：

(13)

将锚杆表面的黏结摩阻力沿半径r积分，即可得到任意半径r处锚杆轴力Nr。

(14)

将式(5)和式(8)—(10)代入式(14)，可得：

(15)

在式(15)中，令r=ρ，即可得到让压锚杆的最大轴力Nmax表达式：

(16)

3 工程算例验证

为检验本文所得让压锚杆内力计算公式的正确性，选取3个隧道工程进行实例验证： 毛羽山隧道[13](R0=5 m，埋深350 m)、楚雄引水隧洞[14](R0=4.5 m，埋深300 m)、云驾岭煤矿下山巷道[15](R0=2.5 m，埋深500 m)。各工程实例的隧道原岩应力p0根据隧道埋深处的岩体自重应力进行估算。隧道围岩参数如重度γ、弹性模量E、泊松比μ、内摩擦角φ、黏聚力c，取自文献[13-15]及《工程地质手册》[16]。隧道表面支护结构抗力pi取自参考文献[9]，围岩与锚杆表面的剪切刚度系数K取自参考文献[17]。

将上述参数代入式(16)得到本文解答，并与锚杆最大轴力的数值计算值或现场实测值进行对比。锚杆最大轴力解答与数值解或实测值的对比情况见表1。

表1 锚杆最大轴力解答与数值解或实测值对比

注： 标有※的数据为锚杆最大轴力的数值解，标有#的数据为实测值。

由表1可知： 本文解答的普通锚杆及让压锚杆最大轴力与相关文献中给出的数值解或实测值均符合较好，误差控制在15%以内，可以验证式(16)能够较好地预测让压锚杆的最大轴力，为让压管长度的设计提供可靠依据。

4 工程应用

4.1 工程算例

依托昆明(福德立交)—宜良高速公路万溪冲隧道工程，根据本文提出的让压锚杆内力计算公式，分析让压锚杆轴力的分布及变化规律，并提出让压管合理长度的设计准则。万溪冲隧道工程K36+536～+685段最大埋深为348 m，围岩岩性以页岩为主。地层为灰褐色、灰黑色，薄层状构造，节理裂隙发育—极发育，砂质胶结充填，岩质软，岩体破碎。隧道围岩自稳能力差、变形速率快、变形量大。采用当量半径法计算得到万溪冲隧道等效圆形断面半径为7.6 m，原岩应力取埋深348 m处的岩体自重应力，支护力pi取为700 kPa[9]，锚杆表面剪切刚度系数K取为200 kN/m[17]。万溪冲隧道的围岩岩体参数和让压锚杆设计参数见表2。

根据锚杆内力计算公式，让压锚杆的最大轴力Nmax为140.4 kN，中性点半径ρ为9.2 m。若采用普通锚杆，则最大轴力Nmax为192.1 kN，中性点半径ρ为9.5 m。让压锚杆及普通锚杆的轴力分布情况见图2。从图2中可以看出： 隧道洞壁处让压锚杆拉力等于让压荷载，锚杆末端拉力均为0。锚杆上存在一个临界点，该点锚杆拉力达到最大值，临界点两侧拉力逐渐减小； 让压锚杆与普通锚杆的临界点位置相近，但让压锚杆的最大拉力较普通锚杆下降了26.9%，说明让压支护能够有效降低锚杆的最大内力，从而保证锚杆的锚固效果。

表2 围岩岩体参数和让压锚杆设计参数

图2 让压锚杆及普通锚杆的轴力分布情况

4.2 锚杆长度对轴力分布的影响

定义中性点相对位置为中性点至洞壁的距离和锚杆长度的比值。

(17)

将万溪冲隧道的相关设计参数代入锚杆内力计算公式，可以得到中性点相对位置及锚杆最大轴力与锚杆长度的关系，如图3所示。

图3 中性点相对位置及锚杆最大轴力与锚杆长度的关系

由图3可知： 中性点相对位置的整体变化不大，ζ为0.3～0.43，可见锚杆长度对锚杆轴力分布情况的影响不大，锚杆轴力最大值的出现位置相对固定。锚杆最大轴力随锚杆长度增长而近似呈线性增大，L=4、6、8、10 m 4种锚杆长度对应的最大轴力分别为140、240、352、468 kN。当锚杆长度较大时，其最大轴力也较大，这可能引起锚杆的拉断破坏。因此，在实际工程中有必要对锚杆长度进行合理的控制。

4.3 让压管长度对轴力分布的影响

不同让压管长度下锚杆轴力的分布情况见图4。让压管长度对于锚杆轴力的分布形式影响不大，锚杆上均存在一个最大轴力的临界点，隧道洞壁处的锚杆拉力均等于让压荷载，锚杆末端拉力均为0。让压锚杆的最大轴力随让压管长度的增大而减小，图4中让压管长度由10 mm增长到60 mm时，锚杆最大轴力随之由193 kN减小到64 kN。可见增加让压管长度是减小锚杆最大轴力的有效手段。

图4 不同让压管长度下锚杆轴力的分布情况

4.4 让压管长度的设计准则

基于让压锚杆的工作原理及本文提出的让压锚杆内力计算方法，让压管的长度设计必须同时满足以下2条准则。

4.4.1 ΔL>ΔLmin

由上述分析可知，锚杆最大轴力随让压管长度的减小而增大，存在一个最小临界长度ΔLmin，当ΔL<ΔLmin时，锚杆最大轴力均大于锚杆的抗拉极限轴力[Nmax]，锚杆将会被拉断，从而失去增强围岩稳定性的作用。因此，让压管长度必须满足ΔL>ΔLmin的要求。基于本文提出的解析解，式(18)和式(19)给出了锚杆抗拉极限轴力[Nmax]及临界状态下的中性点半径[ρ]与让压管最小临界长度的关系：

(18)

(19)

4.4.2 ΔL<ΔLmax

杆体表面摩阻力随锚杆深入围岩而改变方向，是锚杆中性点理论成立的条件，因此隧道洞壁处锚杆受到的黏结摩阻力τR0应指向隧道内部。同时中性点应位于让压锚杆上，即

τR0>0；

(20)

ρ>R0。

(21)

将式(5)和式(8)—(10)代入式(20)和式(21)，可得让压管长度ΔL应满足的条件为：

(22)

式(22)不等式右侧即为让压管最大临界长度ΔLmax。

(23)

5 结论与讨论

全长锚固让压锚杆对于软岩大变形的控制效果较好，本文通过理论分析提出了让压管长度上限值和下限值的设计方法，并得到以下结论。

1)本文推导的让压锚杆内力计算公式能够给出锚杆的轴力分布情况，并能较好地预测让压锚杆的最大轴力，可以在实际工程中判断让压锚杆是否因拉断而破坏。当不考虑让压管的作用时，本文的计算公式可以退化成普通锚杆中性点理论的解析解。

2)让压锚杆的轴力在隧道洞壁处等于让压荷载，在杆体末端为0，在杆体中性点位置拉力达到最大值。

3)锚杆长度及让压管长度的变化均对轴力分布形式影响不大； 让压锚杆的最大轴力随锚杆长度的增加而增大，随让压管长度的增长而减小。

4)让压管的长度存在一个合理的设计范围： 让压管长度的下限值由锚杆抗拉极限轴力确定，保证让压锚杆不因拉断而破坏； 让压管长度的上限值由式(23)确定，以确保应用本文的内力计算公式分析问题时中性点理论始终成立。

本文研究成果对于开展让压锚杆让压管长度的研究具有一定的参考价值，但是在推导让压锚杆内力计算公式时引入了部分假设，这些假设与隧道工程的实际情况仍存在一定的误差。为了完善让压管长度的设计理论，在后续研究中需积累更多的工程资料，以便对让压管长度的设计方法进行验证与修订。