形状记忆合金纤维复合材料梁非线性变形、热屈曲和振动

，，，

(山东科技大学 机械电子工程学院，山东 青岛 266590)

复合材料结构与金属材料结构相比具有强度和刚度大、重量轻以及耐高温和耐腐蚀等优越性能，特别是复合材料结构力学性能可剪裁性，在许多工程领域受到普遍认可。近年来，复合材料梁、板和(或)壳在航空航天、潜艇和汽车等领域得到广泛的应用。智能材料与结构理论的发展，为进一步改进和扩展复合材料的功能，提供了有效途径[1]。复合材料超音速飞机结构在气动热载荷的作用下，可能产生较大的热屈曲非线性变形，干扰飞机表面的气流场，影响飞机的安全飞行，而热屈曲和非线性振动可能导致结构的强度和安全性能退化。近几十年来，将形状记忆合金(shape memory alloy,SMA)作为一种先进的智能材料，埋入复合材料梁、板和壳类结构中，构成SMA复合材料结构，以实现对复合材料结构控制的理论研究与实际应用，已经受到来自工程界和学术界极大关注并获得许多重要进展。 SMA特有的力学性能主要源于其在温度激励下会产生马氏体相变，改变结构刚度特性和弹性特性调节复合材料结构的性能。

Lau等[2]研究具有SMA丝两端固支复合材料梁在SMA丝驱动下固有频率的变化规律；Tsai等[3]针对具有主动SMA纤维的复合材料梁的静屈曲载荷和固有频率进行参数研究；Aoki等[4]研究埋入TiNi纤维环氧树脂的主动阻尼效应，以检验复合材料做为阻尼材料的可能性；Zhang等[5]研究运动学假设对任意埋入SMA的复合材料梁挠度和振动特性的影响，将直接线性化非线性控制方程得到的固有频率和在静平衡点附近线性化非线性控制方程得到的固有频率进行了比较；Majewska等[6]研究具有磁致SMA作动器、带裂纹的复合材料梁主动振动控制；Lee等[7]采用传递矩阵方法研究具有SMA螺旋弹簧的复合材料阶梯梁的横向振动；Dos Reis等[8]研究在环氧树脂中埋入NiTi的智能复合材料梁的振动抑制特性。Ren等[9]将SMA纤维埋入各向异性复合材料薄壁矩形截面梁，提出具有变形主动驱动作用的SMA纤维混杂复合材料薄壁截面梁的力-位移本构关系模型，揭示了SMA纤维对复合材料薄壁梁收缩-弯曲-扭转静变形特性的作用规律。任勇生等[10]研究具有SMA主动纤维旋转复合材料单闭室薄壁截面梁的耦合自由振动问题。Sohn等[11]采用实验方法研究具有SMA丝作动器柔性梁的振动与位置控制，并且将实验结果与理论结果进行比较；Kang等[12]研究在不同温度下碳/环氧复合材料在低速冲击下的响应；Brinson等[13]通过加热和冷却SMA丝考察复合材料梁变形主动控制特性；Raghavan等[14]评价了超弹性SMA纤维用于增强阻尼能力的潜力以及热固树脂基的韧性；Du等[15]研究埋入SMA的环氧树脂的变形，为了分析环氧树脂梁力学特性对时间的依赖性，导出一个递归方程。

然而，上述研究均未考虑复合材料梁剪切变形的影响。事实上，SMA复合材料梁结构建模可以依据不同理论。如果梁的横截面在变形后仍保持平面且垂直于变形后梁的挠度曲线，则可采用经典梁理论或者是Euler-Bernouli梁理论。如果梁在厚度方向的位移多项式的阶数为1，则称为Timoshenko梁理论或一阶剪切变形梁理论；位移多项式的阶数大于1，则称为高阶剪切变形梁理论。

Barzegari等[16]提出具有SMA丝的复合材料梁的固有频率和振型函数的解析解，分别采用Euler-Bernoulli梁理论、Timoshenko梁理论和Reddy高阶理论，进行结构建模，但是模型没有考虑结构非线性的影响。文献[17-21]研究计及剪切变形、具有不同边界条件复合材料梁的自由振动和屈曲，采用Euler-Bernoulli梁理论、Timoshenko梁理论和Reddy高阶理论描述梁的剪切变形，但结构模型仅限于不含SMA纤维的普通复合材料梁，同时也不涉及结构非线性。Emam[22]基于高阶剪切变形理论研究不含SMA的复合材料梁的后屈曲非线性响应特性，几何非线性来源于复合材料梁的轴向可伸长。Asadi等[23-24]研究具有任意铺层SMA纤维混杂复合材料梁的非线性自由振动、主共振和超谐共振以及热屈曲，采用Von-Kármán应变场描述梁的几何非线性。然而，上述这些研究都未考虑剪切变形的影响。

Ren等[25]基于经典梁理论，一阶剪切变形理论以及Von Kármán非线性应变-位移方程，研究埋入SMA纤维复合材料梁的非线性自由振动与受迫振动。但上述研究模型不包含高阶剪切变形梁理论，同时也缺少对复合材料梁在SMA驱动下的静变形和热屈曲问题的研究。

本研究对Ren等[25]的工作进行扩展。在SMA纤维复合材料梁的结构建模过程中，为了考察剪切变形的影响，除了采用Euler-Bernoulli梁理论和Timoshenko梁理论之外，还进一步采用Reddy高阶理论。在建立SMA纤维复合材料梁非线性控制方程的基础上，采用近似解法导出SMA纤维复合材料梁在机械载荷作用下的非线性静变形，温度作用下的热屈曲响应以及非线性固有频率和稳态受迫振动的计算公式，通过数值分析比较了不同理论的差异，并且研究不同参数的影响。

1 理论模型

1.1 本构关系

根据混合率公式，SMA纤维混杂复合材料单层材料系数的表达式[26]如下：

E1=E1mVm+EsVs，
E2=E2mEs/[E2mVs+EsVm]，
G12=G13=G12mGs/[G12mVs+GsVm]，
G23=G23mVm+GsVs，
Gs=Es/[2(1+νs)]，
ν12=ν12mVm+νsVs，
ρ=ρmVm+ρsVs，
Vm+Vs=1。

(1)

式中：E1，E2为材料主轴方向的弹性模量；ν12为泊松比；G12为剪切模量；Es为SMA的杨氏模量；E1m，E2m分别为基体在主轴方向上的弹性模量；Vs，Vm分别为SMA和基体的体积含量；Gs为SMA的剪切模量。

含有SMA纤维的复合材料梁在轴向方向的偏轴应力-应变关系式为[25]：

(2)

(3)

Von-Kármán应变位移方程为：

表1 剪切变形下不同梁理论的形函数f(z)Tab.1 The shape function f(z) describing the shear deformation according to different beam theories

(4)

(5)

方程(4)中的u1表示中性层的位移；f(z)是描述在厚度方向上的剪切变形的形状函数，是由不同的梁理论推导而出的，具体的表达式见表1。

将式(4)代入式(2)，导出SMA纤维复合材料梁的横截面合力和力矩如下：

(6)

式中：

(7)

上标“T”和“r”分别表示由温度和SMA纤维回复应力引起的面内力和力矩。

1.2 控制方程

SMA纤维复合材料梁的运动方程将采用Hamilton原理建立：

(8)

式中，δV、δWnc和δT分别表示应变能、非保守力做功和动能。

复合材料梁非保守力做功为：

(9)

其中，q为复合材料梁所受的外在的机械载荷。

将变分代入公式(8)，可得到偏微分方程：

(10)

其中，质量以及惯性矩m1,m2,m3,m4,m5,m6分别为：

(11)

式中，ρ为复合材料梁的密度。

假定方程(10)中的面内惯性项和旋转项等于零[27]，可以得到化简之后的方程如下：

(12)

利用方程(6)和方程(12)中的第一式，所以可以得到以下方程：

(13)

将方程(13)沿x进行积分，得：

(14)

根据边界条件u(0,t)=u(L,t)=0，解得C1、C2的表达式：

(15)

由此可得轴向力N的表达式：

N=b(A11A(t)-NT+Nr)。

(16)

式中：

(17)

如果复合材料梁的铺层是对称的，那么刚度系数E11=B11=0，将式(16)代入方程(12)，化简得：

(18)

假设复合材料梁两端简支，其边界条件为：w=M=Ms=0,(x=0,L)。可以证明，简支梁的边界条件能够表示为：

(19)

在模型中不考虑剪切变形的影响，即令f(z)=0，则可退化得到文献[23]的振动方程；不考虑由温度和SMA纤维回复应力引起的面内力，则可退化为文献[22]的方程。

方程(18)是含SMA纤维的复合材料梁的非线性振动方程：如果不考虑惯性的影响，并且假设横向载荷q与时间无关，则得到的方程可以用于研究含有SMA纤维复合材料梁在机械载荷下的非线性静变形；如果不考虑惯性和横向载荷的影响，则得到的方程可以用于研究含有SMA纤维复合材料梁受温度变化影响的非线性热屈曲；如果不考虑横向载荷的影响，则得到的方程可以用于研究含有SMA纤维复合材料梁的非线性自由振动；最后，如果假设横向载荷q为简谐激励，则可以用于研究含有SMA纤维复合材料梁的非线性受迫振动。

1.3 方程求解

令方程(18)中所有惯性项等于0，并且假设静变形具有如下形式：

(20)

将上式代入静平衡方程并采用Galerkin法，得：

(21)

(22)

其中：

在方程(18)中令所有惯性项等于0以及外载荷q=0，并且假设：

可导出屈曲响应a、b与温度的关系：

(23)

(24)

假定激振力q(t)=q0cosωt，其中，q0和ω分别表示激振力幅值和频率。为了求解振动微分方程(18)的解，令

将上式代入(18)，得

(25)

(26)

其中

(29)

2 数值结果与分析

数值计算选用的SMA纤维的材料常数如表2所示[25]。

表2 SMA纤维材料常数[25]Tab.2 The parameters of SMA fiber

2.1 静变形

图1表示不同SMA纤维含量时的静变形随分布力变化曲线。结果表明，随着SMA含量增加，静变形变小。这是由于当SMA纤维含量增加，SMA纤维产生的回复应力对复合材料梁的弯曲刚度的调节作用也随之增加，因此，对非线性静变形特性的影响也增加。不含SMA纤维的复合材料梁的静变形远大于SMA纤维复合材料梁的静变形。因此，增加SMA纤维的含量可以增强复合材料梁的抗弯刚度和抵抗变形的能力。

表3 复合材料基体材料参数Tab.3 The material parameters of composite material matrix

图1 不同SMA含量下分布力与静变形的关系(T=60 ℃，ε0=0.008)Fig.1 The relationship between different SMA contents(T=60 ℃，ε0=0.008)

图2表示SMA纤维初始应变分别取0、0.036、0.075静变形随分布力变化曲线，通过局部放大图可以看到，初始应变的增加可以减小复合材料梁的静变形，但初始应变对静变形的影响似乎并不明显。

图3表示温度取20、60和120 ℃时,静变形随分布力变化曲线。由图可知，温度升高时，复合材料梁的静变形减小。这是由于温度的增加使得受限的SMA纤维产生温度诱发马氏体相变，从而产生受限回复应力，提高了复合材料梁的弯曲刚度。

2.2 热屈曲响应

图5(a)～(c)分别表示SMA纤维含量分别为0、0.01和0.05屈曲变形随温度升高的变化曲线，同时展示出三种梁理论的计算结果，所用到的其他参数为：ε0=0.03,h=0.001 m，L/h=5。从图5中可以看出，由经典梁理论得到的热屈曲变形，低于一阶梁理论和高阶梁理论的计算结果；随着SMA纤维含量的增加，曲线向右移动，同时伴随屈曲变形的减小。这表明，由于SMA纤维的驱动作用，复合材料梁的热屈曲温度变大了，而且对热屈曲响应也能够产生明显的抑制作用。

图2 不同初始应变下分布力与静变形的关系(T=60 ℃，Vs =0.005)Fig.2 The relationship between and under different initial strain (T=60 ℃，Vs =0.005)

图3 不同温度下分布力与静变形的关系(ε0=0.036，Vs =0.005)Fig.3 The relationship between and under different temperatures (ε0=0.036，Vs =0.005)

图4 基于不同梁理论的分布力与静变形的关系(T=50 ℃,ε0=0.036，Vs =0.005)Fig.4 The relationship between and using different beam theories(T=50 ℃,ε0=0.036，Vs=0.005)

图5 基于不同梁理论的温度T与梁热后屈曲变形a关系曲线(Vs=0, 0.01, 0.05)Fig.5 Relationship between temperature T and the thermal post-buckling deflections ausing different theories(Vs=0, 0.01, 0.05)

图6(a)～(c)表示SMA纤维初始应变分别为0、0.030和0.075时，屈曲变形随温度升高的变化曲线，为其他参数取值为Vs=0.005,L/h=5。从图6(a)～(c)中可以看出,随着初始应变的增加梁的屈曲曲线的变化并不明显，这表明SMA纤维的初始应变对复合材料梁的热屈曲稳定性的影响似乎不大。

2.3 自由振动

图7为非线性固有频率ωn与振幅A0的关系曲线，是采用一阶梁理论得到的。图7(a)表示不同SMA纤维含量的非线性固有频率ωn与振幅A0的关系曲线，其中：T=50 ℃，ε0=0.005，L/h=10。结果表明，非线性固有频率随着振幅的增加而增加，而线性振动的固有频率是与变形无关的。在温度、初始应变和长厚比确定的情况下，随着SMA纤维含量的增加，非线性固有频率ωn与振幅关系曲线向右移动，这是由于增加SMA纤维含量使得复合材料梁的弯曲刚度也增加。说明埋入SMA纤维可以有效增加复合材料梁的非线性固有频率。

图7(b)表示不同温度的非线性固有频率ωn与振幅A0的关系曲线，其他参数取值为：Vs=0.005，ε0=0.01，L/h=10。结果表明，当温度增加时，由于相变作用，SMA纤维的受限回复应力增加，从而使得复合材料梁的刚度也随之增加，这就使得非线性固有频率随着温度的增加而增加。

图7(c)表示不同初始应变的非线性固有频率ωn与振幅A0的关系曲线，其他参数取值为：T=60 ℃，Vs=0.005，L/h=10。结果表明，随着初始应变的增加，复合材料梁的非线性固有频率增加。

图6 基于不同梁理论的温度T与梁热后屈曲变形a关系曲线(ε0=0, 0.030, 0.075)Fig.6 The relationship between temperature T and the thermal post-buckling deflections ausing different theories (ε0=0, 0.030, 0.075)

图7 非线性固有频率ωn与振幅A0关系曲线Fig.7 The relationship between amplitude A0 and nonlinear natural frequencies ωn

图8(a)～(c)分别表示长厚比为5、10和50时的非线性固有频率与振幅关系曲线。其他参数为：T=50 ℃，Vs=0.005，ε0=0.03，A0/h=1。结果表明，如果振幅保持不变，随着长厚比的增加，复合材料梁的非线性固有频率减小。长厚比为5时，经典梁理论得出的非线性固有频率大于一阶梁理论和高阶梁理论得到的非线性固有频率，高阶梁理论下的非线性固有频率数值最小。此外，长厚比越大，非线性固有频率就越小，长厚比为50时，三种模型得出的数值几乎重合，说明在长厚比较大的情况下，剪切变形对非线性固有频率的影响可以忽略不计。

2.4 受迫振动

图9(a)～(c)分别表示长厚比为5、10和50，SMA纤维复合材料梁的非线性稳态频率响应曲线，其他参数为：T=50 ℃，Vs=0.005，ε0=0.03，q0=10N。结果表明，随着长厚比增加，稳态频率响应曲线随之逐渐向左移动。此外，也可以看到，当L/h较小时，三种不同的梁理论得到的结果明显不同，此时，剪切变形对SMA纤维复合材料梁非线性稳态响应的影响较大。在相同的激励频率下，经典梁理论得出的非线性稳态响应振幅小于一阶梁理论和高阶梁理论得到的结果，高阶梁理论下的非线性稳态响应振幅数值最大，当长厚比较大时，剪切变形的影响可忽略不计。

图8 非线性固有频率ωn与振幅A0的关系Fig.8 The relationship between nonlinear natural frequency ωnand amplitude A0

图9 不同理论下激励频率ω与振幅的关系

3 结论

1) 经典梁非线性静变形、热屈曲和稳态振动响应的计算结果，小于一阶和高阶梁的计算结果，高阶梁理论的结果最大；经典梁非线性固有频率的计算结果大于一阶和高阶梁的计算结果，高阶梁理论的结果最小；一阶和高阶梁理论的结果彼此较为接近，经典梁理论结果与前两种理论的结果相差较大。当长厚比大于50，剪切变形的影响可忽略不计。

2) 在被激活的SMA纤维的受限回复应力的驱动下，复合材料梁的非线性静变形和热屈曲响应显著降低，而非线性固有频率显著增加。

3) SMA纤维体积含量和驱动温度能够对SMA纤维驱动性能产生重要影响，相对而言，初始应变对SMA纤维驱动的作用并不十分明显。